Estabilidad de la solución nula en un sistema autónomo

Question

Estabilidad de la solución nula en un sistema autónomo

matrices
Matemáticas
teoría de la estabilidad
valores propios-vectores propios
ecuaciones diferenciales ordinarias

Rodrigo

Se supone que debo estudiar la inestabilidad de la solución nula del siguiente sistema (autónomo):

{\begin{cases} X^{'} = - X + y - X^{2} \\ y^{'} = 3 X - X^{2} - 2 y \end{cases}

$\begin{equation*} \begin{cases} x' = -x+y-x^2 \\[5pt] y' =3x-x^2-2y \end{cases} \end{equation*}$ Mi resolución hasta ahora y mis problemas. Claramente estamos trabajando con un sistema autónomo con la forma

z^{'} = f (z)

$z' = f(z)$ , dónde

z^{'} = [x^{'} y^{'}]^{T}

$z' = [x'\hspace{.3cm} y']^T$ y

f (z) = f (x, y) = (- x + y - x^{2}, 3 x - x^{2} - 2 y)

$f(z) = f(x,y) = (-x+y-x^2,3x-x^2-2y)$ . Obviamente,

f \in C^{1}

$f \in C^1$ en

R^{2}

$\mathbb{R^2}$ y

f (0, 0) = (0, 0)

$f(0,0)=(0,0)$ (

(0, 0)

$(0,0)$ es un punto de equilibrio). Calculemos el jacobiano de

f

$f$ .

j_{F} (X, y) = (\begin{matrix} - 1 - 2 X 1 \\ 3 - 2 X - 2 \end{matrix}) \Rightarrow j_{F} (0, 0) = (\begin{matrix} - 1 1 \\ 3 - 2 \end{matrix})

$\begin{equation*} J_f(x,y) = \begin{pmatrix}-1-2x \quad \quad 1 \\[5pt] 3-2x \quad \quad -2 \end{pmatrix} \Rightarrow J_f(0,0) = \begin{pmatrix}-1 \quad \quad1 \\[5pt] 3 \quad \quad -2 \end{pmatrix} \end{equation*}$ Ahora calculamos los valores propios de

J_{f} (0, 0)

$J_f(0,0)$ y obtenemos el siguiente resultado:

λ_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2} \lor λ_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}

$\begin{equation*} \lambda_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \quad \vee \quad \lambda_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2} \end{equation*}$ Lo que nos hace concluir que

J_{f} (0, 0)

$J_f(0,0)$ no es hurwitz (tiene un valor propio real positivo).

Por lo tanto, no puedo concluir nada sobre la estabilidad de la solución nula usando este método. Ahora trataría de encontrar una función de Lupyanov y usaría su método directo ya que estos son los dos métodos que me han enseñado. Probé varias funciones de Lupyanov y no puedo encontrar una que realmente funcione para este caso. Entonces esta es mi pregunta, si alguien puede ayudarme a encontrar una función de Lupyanov, estaría muy agradecido.

Timur Bakiev

¿Realmente necesitas la función de Lyapunov? Un valor propio real positivo y un valor propio real negativo implican que cero es un punto de silla, que es inestable: simplemente puede resolver el sistema lineal y verlo. Si desea utilizar Lyapunov de todos modos, considere

V (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$V(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ . verás que

\nabla V J_{f} (0, 0) (v) > 0

$\nabla V J_f(0,0) (v) > 0$ para cualquier vector propio

v

$v$ correspondiente al valor propio positivo.

Rodrigo

¡Gracias @Timur Bakiev! He comentado mis dudas teóricas adicionales sobre la respuesta de Lutz, ¿puedes echarle un vistazo y responder si es posible?

Timur Bakiev

ok lo hare mas tarde

Rodrigo

Gracias una vez más :D

Respuestas (3)

Estabilidad de la solución nula en un sistema autónomo

¿Realmente necesitas la función de Lyapunov? Un valor propio real positivo y un valor propio real negativo implican que cero es un punto de silla, que es inestable: simplemente puede resolver el sistema lineal y verlo. Si desea utilizar Lyapunov de todos modos, considere $V(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ . verás que $\nabla V J_f(0,0) (v) > 0$ para cualquier vector propio $v$ correspondiente al valor propio positivo.
¡Gracias @Timur Bakiev! He comentado mis dudas teóricas adicionales sobre la respuesta de Lutz, ¿puedes echarle un vistazo y responder si es posible?

lutz lehmann · Answer 1

lutz lehmann

Obtuviste un valor propio estrictamente positivo y uno estrictamente negativo. Así, el sistema linealizado tiene un punto de silla. Esto sigue siendo cierto en la imagen local de la perturbación del sistema no lineal original.

Este tipo de persistencia de la caracterización del punto estacionario solo está en duda y puede violarse si uno o más de los valores propios es cero o tiene una parte real cero. Consulte " Ejemplo de una EDO con un equilibrio asintóticamente estable que es inestable en la linealización correspondiente " para ver un ejemplo de cuán "inestable" (en un sentido meta) es esta situación.

Rodrigo

¡Hola @Lutz Lehmann! ¡Gracias por tu respuesta! ¿Significa esto que puedo aplicar los resultados conocidos para el sistema lineal (con coeficientes constantes) al sistema linealizado en todos los escenarios? Con esto quiero decir lo siguiente: Si el sistema linealizado tiene uno o más autovalores con parte real estrictamente positiva la solución nula es instável ;; Si tenemos SOLO valores propios con parte real estrictamente negativa -> asintóticamente Stanley ;; Si tenemos SOLO valores propios con parte real negativa o 0 (y si estos son simples) -> ¿solución nula estable? Gracias una vez más

Rodrigo

instavel significa inestable y Stanley significa estable. Autocorrector

lutz lehmann

Mayormente sí, hasta el último. Si algunos de los valores propios tienen una parte real cero, lo que sucede realmente depende de los términos no lineales. Como muestra el ejemplo, aún puede obtener un crecimiento polinomial. Véase el teorema de Grobman-Hartman.

Rodrigo

Creo que lo tengo. Básicamente: si para algún valor propio

λ

$\lambda$ tenemos

R e (λ) > 0

$Re(\lambda)>0$ entonces podemos concluir inmediatamente que la solución nula es inestable, a través del teorema de Grobman-Hartman. Por otro lado, si para algún valor propio

λ

$\lambda$ tenemos

R e (λ) = 0

$Re(\lambda)=0$ , tenemos que buscar una función de Lyapunov (ya que no podemos concluir nada con el método previo). ¿Es esto correcto? Gracias por tu tiempo

lutz lehmann

Sí, si encuentra una función de Lyapunov, la situación vuelve a estar clara. De lo contrario, necesita otros métodos, lo que funciona puede depender de la ODE específica. A veces la aproximación de la variedad central da suficiente información.

Rodrigo

¡Gracias @Lutz Lehmann! ¡Muy buena aclaración y respuesta!

Alan · Answer 2

Método: igualar las derivadas a 0, graficar las dos parábolas. Introduce + o - en cada región por separado, para ver si las soluciones justo fuera (0,0) tienden hacia el origen o se alejan cuando estás cerca (0,0). Si todos tienden hacia, estables, si todos se alejan, inestables, de lo contrario, semiestables.

მამუკა ჯიბლაძე · Answer 3

Solo una ilustración (por lo tanto, cw):

Hecho con código de Mathematica

With[{M=.01},StreamPlot[{-x+y-x^2,3x-x^2-2y},{x,-M,M},{y,-M,M}]]

Estabilidad de la solución nula en un sistema autónomo

Rodrigo

Timur Bakiev

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Timur Bakiev

Rodrigo

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lutz lehmann

Rodrigo

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Rodrigo

lutz lehmann

Rodrigo

Alan

მამუკა ჯიბლაძე

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