Espacio de estado con variable de entrada de segunda derivada

Question

Espacio de estado con variable de entrada de segunda derivada

Matemáticas
teoría del control
control lineal
sistemas-dinamicos
ecuaciones diferenciales ordinarias

turbochad

Tengo una EDO de segundo orden con términos derivados

α_{1} \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + α_{2} \frac{d i}{d t} + α_{3} i = - β_{1} V_{r} - β_{2} \frac{d V_{r}}{d t} - β_{3} \frac{d^{2} V_{r}}{d t^{2}}

$\alpha_1\frac{d^2i}{dt^2}+\alpha_2\frac{di}{dt}+\alpha_3i=-\beta_1V_r-\beta_2\frac{dV_r}{dt}-\beta_3\frac{d^2V_r}{dt^2}$

Quiero transformar este sistema en un espacio de estado, pero no estoy seguro de cómo administrar el término de entrada de la segunda derivada de $V_r$ . Actualmente tengo definido $x_1$ y $x_2$ como el seguiente.

X_{1} = I (t)

$x_1=I\left(t\right)$

X_{2} = \dot{I} (t) + \frac{β_{2}}{α_{1}} V_{r} + \frac{β_{3}}{α_{1}} {\dot{V}}_{r}

$x_2=\dot{I}\left(t\right)+\frac{\beta_2}{\alpha_1}V_r+\frac{\beta_3}{\alpha_1}{\dot{V}}_r$

Sus derivados se dan como

{\dot{X}}_{1} = \dot{I} (t) = X_{2} - \frac{β_{2}}{α_{1}} V_{r} - \frac{β_{3}}{α_{1}} {\dot{V}}_{r}

${\dot{x}}_1=\ \dot{I}\left(t\right)=\ x_2-\frac{\beta_2}{\alpha_1}V_r-\frac{\beta_3}{\alpha_1}{\dot{V}}_r$

{\dot{X}}_{2} = \ddot{I} (t) + \frac{β_{2}}{α_{1}} {\dot{V}}_{r} + \frac{β_{3}}{α_{1}} {\ddot{V}}_{r} = - \frac{α_{3}}{α_{1}} I - \frac{α_{2}}{α_{1}} \dot{I} - \frac{β_{1}}{α_{1}} V_{r}

${\dot{x}}_2=\ \ddot{I}\left(t\right)+\frac{\beta_2}{\alpha_1}{\dot{V}}_r+\frac{\beta_3}{\alpha_1}{\ddot{V}}_r=\ -\frac{\alpha_3}{\alpha_1}I-\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\dot{I}-\frac{\beta_1}{\alpha_1}\ V_r$

w h mi r mi, \dot{I} = X_{2} - \frac{β_{2}}{α_{1}} V_{r} - \frac{β_{3}}{α_{1}} {\dot{V}}_{r}

$where, \dot{I} = x_2-\frac{\beta_2}{\alpha_1}V_r-\frac{\beta_3}{\alpha_1}{\dot{V}}_r$

{\dot{X}}_{2} = - \frac{α_{3}}{α_{1}} X_{2} - \frac{α_{2}}{α_{1}} (X_{2} - \frac{β_{2}}{α_{1}} V_{r} - \frac{β_{3}}{α_{1}} {\dot{V}}_{r}) - \frac{β_{1}}{α_{1}} V_{r}

${\dot{x}}_2=\ -\frac{\alpha_3}{\alpha_1}x_2-\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\left(x_2-\frac{\beta_2}{\alpha_1}V_r-\frac{\beta_3}{\alpha_1}{\dot{V}}_r\right)-\frac{\beta_1}{\alpha_1}\ V_r$

Porque todavía tengo un $\dot{V}_r$ término en ambos $\dot{x}_1$ y $\dot{x}_2$ , no puedo transformar el sistema en la representación del espacio de estado. Avísame si tienes alguna sugerencia.

lutz lehmann

Empezar con

x_{1} = i + β_{3} / α_{1} V_{r}

$x_1=i+β_3/α_1V_r$ , reemplazar

i

$i$ con

x_{1}

$x_1$ . Luego define

x_{2}

$x_2$ para capturar todos los términos (restantes) con una primera derivada.

Respuestas (1)

Espacio de estado con variable de entrada de segunda derivada

Empezar con $x_1=i+β_3/α_1V_r$ , reemplazar $i$ con $x_1$ . Luego define $x_2$ para capturar todos los términos (restantes) con una primera derivada.

KBS · Answer 1

Una forma sencilla de realizar esto es calcular primero la función de transferencia, que viene dada por

\frac{I (s)}{V_{r} (s)} = - \frac{β_{3} s^{2} + β_{2} s + β_{1}}{α_{1} s^{2} + α_{2} s + α_{3}} .

$\dfrac{I(s)}{V_r(s)}=-\dfrac{\beta_3s^2+\beta_2s+\beta_1}{\alpha_1s^2+\alpha_2s+\alpha_3}.$

Ahora definimos

\frac{X (s)}{V_{r} (s)} = \frac{1}{α_{1} s^{2} + α_{2} s + α_{3}}

$\dfrac{X(s)}{V_r(s)}=\dfrac{1}{\alpha_1s^2+\alpha_2s+\alpha_3}$

y

\frac{I (s)}{X (s)} = - (β_{3} s^{2} + β_{2} s + β_{1}),

$\dfrac{I(s)}{X(s)}=-(\beta_3s^2+\beta_2s+\beta_1),$

dónde $X(s)$ es la transformada de Laplace del estado.

Esto produce

\frac{d}{d t} \underset{X}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} X \\ \dot{X} \end{matrix}]}} = \underset{A}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{α_{3}}{α_{1}} & - \frac{α_{2}}{α_{1}} \end{matrix}]}} [\begin{matrix} X \\ \dot{X} \end{matrix}] + \underset{B}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]}} V_{r}

$\dfrac{d}{dt}\underbrace{\begin{bmatrix} x\\\dot x \end{bmatrix}}_{X}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\frac{\alpha_3}{\alpha_1} & -\frac{\alpha_2}{\alpha_1} \end{bmatrix}}_{\mbox{$A$}}\begin{bmatrix} x\\\dot x \end{bmatrix}+\underbrace{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{\mbox{$B$}}V_r$

Juntos con

\begin{array}{rcl} I & = & - (β_{3} \ddot{X} + β_{2} \dot{X} + β_{1} X) \\ = & - β_{3} (- \frac{α_{3}}{α_{1}} X - \frac{α_{2}}{α_{1}} \dot{X} + V_{r}) - (β_{2} \dot{X} + β_{1} X) \\ = & \underset{C}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - β_{1} + \frac{β_{3} α_{3}}{α_{1}} & - β_{2} + \frac{β_{3} α_{2}}{α_{1}} \end{matrix}]}} [\begin{matrix} X \\ \dot{X} \end{matrix}] + \underset{D}{\underset{⏟}{- β_{3}}} V_{r} \end{array}

$\begin{array}{rcl} I&=&-(\beta_3\ddot x+\beta_2\dot x+\beta_1x)\\ &=&-\beta_3\left(-\frac{\alpha_3}{\alpha_1}x-\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\dot x+V_r\right)-(\beta_2\dot x+\beta_1x)\\ &=&\underbrace{\begin{bmatrix}-\beta_1+\dfrac{\beta_3\alpha_3}{\alpha_1}& -\beta_2+\dfrac{\beta_3\alpha_2}{\alpha_1}\end{bmatrix}}_{\mbox{$C$}}\begin{bmatrix} x\\\dot x \end{bmatrix}+\underbrace{-\beta_3}_{\mbox{$D$}}V_r \end{array}$

Si tienes condiciones iniciales, $X(0)=(x(0),\dot{x}(0))$ , esto se puede considerar fácilmente usando la solución explícita para modelos de espacio de estado que se da aquí por

X (t) = Exp (A t) X (0) + \int_{0}^{t} Exp (A (t - s)) B tu (s) d s

$X(t)=\exp(At)X(0)+\int_0^t\exp{(A(t-s))}Bu(s)ds$ y

I (t) = C X (t) + D tu (t) .

$I(t)=CX(t)+Du(t).$

Hola KBS, gracias por tu respuesta! ¿Sabes también cómo impondría la condición inicial de que $di\left(0\right)/dt=C$ .
Ok, lo siento, no entendí muy bien lo que estabas preguntando. Ahora asumo que quiere decir "¿qué $/dot{x}$ y $x$ corresponden a". En ese caso, supongo que corresponden a la salida $i(t)$ ? ¿diferenciaría $I(t)$ , establecerlo igual a la constante y luego resolver para las condiciones iniciales en x? Con toda honestidad, esta es la primera vez que trabajo con el espacio de estado y no estoy muy familiarizado con él.
Lo que quiero decir es que $x$ y $i$ están relacionados. Cuando obtienes eso, es fácil considerar una condición inicial. Si no está familiarizado con los métodos de espacio de estado, puede consultarlo, por ejemplo, web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdf

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turbochad

lutz lehmann

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