Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

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Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

bifurcación
Matemáticas
teoría de la estabilidad
sistemas-dinamicos
estabilidad-en-odas
ecuaciones diferenciales ordinarias

Tim el encantador

En mi curso de Ecuaciones Diferenciales, definimos el punto de equilibrio $x_0$ de un sistema dinámico $\frac{dx}{dt} = f(x(t))$ (para $f$ definido en un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ , decir $\mathbb R^n$ sí mismo) para ser estable si es:

Establo Lyapunov
Hay un $\epsilon$ bola alrededor $x_0$ tal que las soluciones $\varphi$ de esta ecuación diferencial con condiciones iniciales en esta bola satisfacen $\lim_{t \to \infty} \varphi(t) = x_0$ .

Estoy tratando de encontrar un ejemplo del caso donde la propiedad (2) se mantiene mientras el punto $x_0$ Lyapunov no es estable.

Después de buscar un poco, me encontré con la bifurcación homoclínica , que es intuitivamente cómo esperaría que fallara la estabilidad de Lyapunov, pero no he podido encontrar ejemplos de bifurcación homoclínica donde la propiedad (2) también se cumpla.

Cualquier ayuda sería apreciada.

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Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

MSDG · Answer 1

Sugerencia: Considere el sistema

{\begin{cases} \dot{X} = X - y - X (X^{2} + y^{2}) + \frac{X y}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}} \\ \dot{y} = X + y - y (X^{2} + y^{2}) - \frac{X^{2}}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}} \end{cases}

$\begin{cases} \dot x = x-y-x(x^2+y^2)+\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \dot y = x+y-y(x^2+y^2)-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}$ y su punto fijo

(1, 0)

$(1,0)$ . (La conversión a coordenadas polares podría ayudar).

Gracias, esto es exactamente lo que estaba buscando. Por cierto, ¿qué motivó esto? De la ecuación en coordenadas polares, puedo ver por qué esto funciona. ¿Acabas de inventar este ejemplo por consideraciones de velocidad de fase, o había alguna motivación más profunda?
Puedo adivinar la idea. El ejemplo más simple del comportamiento que deseaba en OP es un equilibrio de nodo de silla de montar con una trayectoria homoclínica. La forma polar es una forma bastante fácil de obtener un nodo de silla de montar: deseche los términos con raíces cuadradas y obtendrá un ciclo límite en $r =1$ . Si agrega estos términos, el círculo invariante en $r =1$ todavía existe, pero ahora hay un equilibrio en $(1, 0)$ que resulta ser un nodo de silla de montar. Un sistema similar se usa a menudo como una ilustración para la bifurcación SNIC .
@TimTheEnchanter Supongo que el comentario de Evgeny responde a tu pregunta mucho mejor que yo, pero ya que preguntaste: no preparé este ejemplo yo mismo; este sistema me fue dado como ejercicio en mi curso ODE 2 y el objetivo del ejercicio era precisamente mostrar que es necesario incluir el supuesto de estabilidad adicional en la definición de estabilidad asintótica.
Parece que por razones pedagógicas el sistema desacoplado en coordenadas polares $\dot{r}=r(1-r)$ , $\dot{\theta}=1-\cos{\theta}$ , como se considera en la función de Lyaponov en sistema dinámico (en cordonatos polares) , sería un poco mejor (por otro lado, no tiene una forma tan simple en las coordenadas cartesianas, al menos según Mathematica).

Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

Tim el encantador

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usuario539887

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