Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

Question

Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

inducción
desigualdad
Matemáticas
trigonometría

mono2001

Esto es para un curso, no quiero la respuesta, ¡solo un empujón en la dirección correcta!

Tengo un problema que dice

sea n un entero tal que

norte > 0

$n\gt0$

Probar: \sum_{k = 0}^{norte} | porque k | \geq \frac{norte}{2}

$\text{Prove: }\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \frac n2$

Estoy usando inducción para probar esto. Primero mostré mi caso base:

Cuando $P(0)$ $\sum_{k=0}^0 |\cos o| \ge \frac 02$

Lo que se simplifica en $|1|\ge 0$ lo cual es cierto. Así que pasé al paso de inducción.

Asumir: $P(n)$ es cierto tal que $\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \frac n2$

WTS: P(n+1) es verdadero tal que $\sum_{k=0}^{n+1} |\cos k| \ge \frac n2$

Así que dividí el resumen en dos partes.

$\sum_{k=0}^{n+1} |\cos k|=\sum_{k=0}^n |\cos k|+ \cos(n+1)$ Que puedo sustituir de nuevo y obtener

$\sum_{k=0}^n |\cos k|+ \cos(n+1) \ge \frac {n+1}2$

Yo sé, bueno creo, que aquí es donde uso mi Hipótesis de Inducción $\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \frac n2$

Pero ahora no sé cómo mostrar mi próximo paso.

¿Puedo simplemente sustituir $\frac n2$ En para $\sum_{k=0}^n |\cos k|$ y seguir resolviendo? o tengo que mostrar más pasos en el medio? o estoy completamente perdido? ¡Si alguien puede empujarme en la dirección correcta, sería muy apreciado! ¡Gracias por tu ayuda!

Primera edición @Bungo

Esta es la forma en que lo he estado haciendo. ¿Está mal mi lógica? ¿Necesito probar el límite inferior? ¿O mi lógica está bien?

Así que dividí la suma y la volví a escribir como $\sum_{k=0}^n + |\cos n+1| \ge \frac {n+1}2$

Y luego sustituyó a partir de la hipótesis de inducción y la escribió como $\frac n2 + |\cos n+1| \ge \frac {n+1}2$

Luego simplifiqué y obtuve $|\cos n+1| \ge \frac 12$

Así que ahora estoy tratando de probar que esa afirmación es cierta. ¿Esta bien? ¿O debería volver y probar con los trillizos como sugeriste? ¡Gracias!

usuario169852

Creo que tienes algunos errores tipográficos en tu primera edición. Probablemente

| \cos n + 1 |

$|\cos n + 1|$ debiera ser

| \cos (n + 1) |

$|\cos(n+1)|$ (tres ocurrencias). Asumiendo esto, el problema es como mencioné en mi respuesta. eso no lo vas a poder probar

| \cos (n + 1) | \geq 1 / 2

$|\cos(n+1)| \geq 1/2$ , porque no es cierto en general. En efecto,

| \cos (n + 1) |

$|\cos(n+1)|$ puede ser arbitrariamente cercano a cero. Por ejemplo,

| \cos (11) | \approx 0.004

$|\cos(11)| \approx 0.004$ . Creo que la declaración del problema sigue siendo cierta, pero para obtener un límite inferior utilizable, deberá considerar grupos de 3 términos como describí en mi respuesta. A menos que alguien más tenga un truco inteligente...

mono2001

@Bungo ¿Estoy tratando de dividir la suma en trillizos? Nunca he tenido que considerar grupos de 3 como este, así que estoy un poco perdido.

usuario169852

Creo que es correcto. tracé

| \cos (x - 1) | + | \cos (x) | + | \cos (x + 1) |

$|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)|$ y parece exceder

3 / 2

$3/2$ para todos

x

$x$ , por lo que esto es suficiente para obtener el límite inferior

n / 2

$n/2$ . Sin embargo, no es obvio cómo probar que

| \cos (x - 1) | + | \cos (x) | + | \cos (x + 1) | \geq 3 / 2

$|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)| \geq 3/2$ para todos

x

$x$ , o incluso para todos los enteros

n

$n$ .

mono2001

usuario169852

Sí, eso es correcto. La parte difícil será probar el límite inferior de 3/2. Si puedes hacer eso, el resto debería ser bastante sencillo.

usuario169852

Es posible que desee considerar abrir una pregunta separada solo para esa parte: cómo probar eso

| \cos (x - 1) | + | \cos (x) | + | \cos (x + 1) | \geq 3 / 2

$|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)| \geq 3/2$ , con la desigualdad incluida en el título. Eso podría obtener algunas respuestas de personas que no han estado siguiendo este hilo. No estoy seguro de cómo probarlo, pero parece ser cierto según la trama de Wolfram Alpha.

Respuestas (2)

Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

Creo que tienes algunos errores tipográficos en tu primera edición. Probablemente $|\cos n + 1|$ debiera ser $|\cos(n+1)|$ (tres ocurrencias). Asumiendo esto, el problema es como mencioné en mi respuesta. eso no lo vas a poder probar $|\cos(n+1)| \geq 1/2$ , porque no es cierto en general. En efecto, $|\cos(n+1)|$ puede ser arbitrariamente cercano a cero. Por ejemplo, $|\cos(11)| \approx 0.004$ . Creo que la declaración del problema sigue siendo cierta, pero para obtener un límite inferior utilizable, deberá considerar grupos de 3 términos como describí en mi respuesta. A menos que alguien más tenga un truco inteligente...
@Bungo ¿Estoy tratando de dividir la suma en trillizos? Nunca he tenido que considerar grupos de 3 como este, así que estoy un poco perdido.
Creo que es correcto. tracé $|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)|$ y parece exceder $3/2$ para todos $x$ , por lo que esto es suficiente para obtener el límite inferior $n/2$ . Sin embargo, no es obvio cómo probar que $|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)| \geq 3/2$ para todos $x$ , o incluso para todos los enteros $n$ .
@Bungo Al hablar con uno de mis profesores, tuvo la idea de tomar la suma de 0 a n-2 en lugar de 0 a n. ¿Llegaría eso a donde puedo poner |cos(x−1)|+|cos(x)|+|cos(x+1)| ¿al final? Entonces, si puedo probar que excede 3/2, tendría el problema en la bolsa, ¿verdad? Porque no importa cuál sea la suma antes de |cos(x−1)|+|cos(x)|+|cos(x+1)| siempre sería mayor que 3/2.
Sí, eso es correcto. La parte difícil será probar el límite inferior de 3/2. Si puedes hacer eso, el resto debería ser bastante sencillo.
Es posible que desee considerar abrir una pregunta separada solo para esa parte: cómo probar eso $|\cos(x-1)| + |\cos(x)| + |\cos(x+1)| \geq 3/2$ , con la desigualdad incluida en el título. Eso podría obtener algunas respuestas de personas que no han estado siguiendo este hilo. No estoy seguro de cómo probarlo, pero parece ser cierto según la trama de Wolfram Alpha.

usuario169852 · Answer 1

La declaración

\sum_{k = 0}^{norte} | porque (k) | \geq \frac{norte}{2}

$\sum_{k=0}^{n}|\cos(k)| \geq \frac{n}{2}$ parece ser cierto, pero en general no es cierto que

\frac{norte}{2} + | porque (norte + 1) | \geq \frac{norte + 1}{2}

$\frac{n}{2} + |\cos(n+1)| \geq \frac{n+1}{2}$ (por ejemplo, esto es falso para

n = 1

$n=1$ ). Así que no creo que sea útil descomponer la suma como

\sum_{k = 0}^{norte + 1} | porque (k) | = | porque (norte + 1) | + \sum_{k = 0}^{norte} | porque (k) |

$\sum_{k=0}^{n+1} |\cos(k)| = |\cos(n+1)| + \sum_{k=0}^n |\cos(k)|$ porque no tenemos un límite inferior para

| \cos (n + 1) |

$|\cos(n+1)|$ distinto de cero.

RE60K · Answer 2

Usualmente en Inducción hacemos lo siguiente:

Demostrar que la relación es verdadera para el caso $k=1$ , es decir, probar que $\mathfrak{R}(1)$ es verdadero, generalmente poniendo valores.
Asumir la verdad de la relación para un valor general de $k$ , es decir, asumir $\mathfrak{R}(k)$ es verdad.
Demostrar que suponiendo verdad para un valor de $k$ demuestra que la relación también se cumple para $(k+1)$ , generalmente demostrando que $\mathfrak{R}(k+1)=f(\mathfrak{R}(k))$ * y luego poniendo la expresión de $\mathfrak{R}(k)$ en esto y luego establecer la verdad de $\mathfrak{R}(k+1)$ .
Si se hace esto, ha demostrado el teorema/identidad por inducción.

[*o en palabras simples, expresar $\mathfrak{R}(k+1)$ en términos de $\mathfrak{R}(k)$ , denote esta correlación por $f$ , por lo general, pero no siempre se obtiene $\mathfrak{R}(k+1)=\mathfrak{R}(k)+\lambda$ o $f=\mathfrak{R}(k)+\lambda$ ]

Tratando de usar la inducción en este caso:

$P(1)$ es verdad.
Asumiendo $P(n)$ es cierto tal que $\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \frac n2$
Ahora tratando de demostrar que $P(n+1)$ es verdad usando $P(n)$ , o: $PAG (norte + 1) = PAG (norte) + | porque (norte + 1) | \geq \frac{norte}{2} + | porque (norte + 1) | \geq^{*} \frac{norte + 1}{2}$ $P(n+1)=P(n)+|\cos(n+1)|\ge\frac n2+|\cos(n+1)|\ge^*\frac{n+1}2$ El $^*$ relación no siempre es cierta, por lo que no es posible probar por esta simple inducción, tienes que evocar algo más complejo.

Si no está obligado a usar la inducción, puede usar el resultado:

porque α + porque (α + β) + porque (α + 2 β) + \dots + porque (α + (norte - 1) β) = \sum_{k = 0}^{norte - 1} porque (α + k β) = \frac{porque (α + \frac{norte - 1}{2} β) pecado (\frac{norte β}{2})}{pecado (\frac{β}{2})}

$\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+2\beta)+\cdots+\cos\left(\alpha+(n-1)\beta\right)\\=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\alpha+k\beta\right)=\frac{\cos\left(\alpha+\frac{n-1}2\beta\right)\sin\left(\frac{n\beta}2\right)}{\sin\left(\frac{\beta}2\right)}$

La relación * ya es falsa para $n=1$ , porque $|\cos(1+1)| = |\cos(2)| \approx 0.416$ .
@Bungo Supongo que el OP quiere aprender escritura de prueba de inducción, de todos modos copió su comentario en la publicación del OP
La declaración del OP es cierta para $n=1$ , pero el de tu respuesta es falso. No creo que sea útil descomponer la suma como $\sum_{k=0}^{n+1} |\cos(k)| = |\cos(n+1)| + \sum_{k=0}^n |\cos(k)|$ , porque no tenemos un límite inferior para $|\cos(n+1)|$ distinto de cero. En cambio, puede ser mejor mirar pares de la forma $|\cos(n)| + |\cos(n+1)|$ e intente encontrar un límite inferior útil para estos.
A veces uno puede probar $P(n)$ para todos $n$ por medio de un paso inductivo de $n$ a $n + 1$ , pero a veces tenemos que hacer algo más complicado. En este caso, es más complicado.
Su fórmula para la suma de los cosenos es correcta, pero no veo cómo puede ayudar aquí. Necesitaríamos que su valor absoluto excediera $n/2$ para todos $n$ , pero esto es imposible ya que está acotado arriba por la constante $1/|\sin(\beta/2)|$ .
@Bungo No he intentado usarlo, por lo tanto dije "puede ser útil"

Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

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Respuestas (2)

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david k

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¿Por qué es sin(3x)≤2sin⁡(3x)≤2\sin (3x) \le 2?

Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

¿El triple ángulo pitagórico más pequeño es ∼4.9∘∼4.9∘\sim 4.9^\circ?

Prueba de la desigualdad Fi<(5/3)iFi<(5/3)iF_i<(5/3)^i para los números de Fibonacci

Desigualdad de inducción/ n en exponencial

Demostrar que un triángulo con una base y un ángulo dados debe ser isósceles para tener un perímetro máximo

Si 2−cos2θ=3sinθcosθ2−cos2⁡θ=3sin⁡θcos⁡θ2−\cos^2θ=3\sinθ\cosθ entonces sinθ≠cosθsin⁡θ≠cos⁡θ\sin \theta \neq\cos\theta entonces tanθtan⁡ θ\tan\theta es…

¿Es correcta esta notación de intervalo para la solución de un problema de desigualdad?

Soluciones adicionales al resolver sinθ+cosθ=2sin2θ−−−−−−√sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡2θ\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2\sin2\theta}

Prueba simple basada en desigualdades [cerrado]