Límite superior para el factorial descendente

Demostrar que el factorial descendente$(n)_k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$satisface la siguiente desigualdad:

$$(n)_k\le n^ke^{\frac{-k(k-1)}{2n}}$$

Reescribí la desigualdad como$\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\left(1+\frac{2}{n-2}\right)\ldots\left(1+\frac{k-1}{n-(k-1)}\right)\ge e^{\frac{k(k-1)}{2n}}$.

Luego traté de aplicar directamente la desigualdad$1+x\ge e^{x-\frac{x^2}{2}}$, para$x\ge 0$.

Entonces basta con mostrar$\displaystyle \sum^{k-1}_{i=1} \left(\frac{i}{n-i}-\frac{i}{n}-\frac{i^2}{2(n-i)^2}\right)\ge 0\iff \sum^{k-1}_{i=1} \left(\frac{i^2}{n(n-i)}-\frac{i^2}{2(n-i)^2}\right)\ge 0$

Sin embargo, esto solo es lo suficientemente bueno para$k<\frac{n}{2}$. ¿Algún camino desde aquí?