Límite inferior para el factorial descendente

Se deduce bastante simplemente del hecho de que$e^x\ge1+x$para todos$x$eso

$$\log(1-x)\ge-\frac x{1-x}\tag{1}$$ para $x\lt1$.

Por lo tanto,

$$\begin{align} \log\left(\frac{n!}{(n-k)!}\right) &=\sum_{j=0}^{k-1}\log(n-j)\tag{2}\\ &=k\log(n)+\sum_{j=0}^{k-1}\log\left(1-\frac jn\right)\tag{3}\\ &\ge k\log(n)-\sum_{j=0}^{k-1}\frac{j}{n-j}\tag{4}\\ &\ge k\log(n)-\sum_{j=0}^{k-1}\frac{j}{n-k}\tag{5}\\ &=k\log(n)-\frac{k^2-k}{2(n-k)}\tag{6}\\ &\ge k\log(n)-\frac{k^2}{2(n-k)}\tag{7} \end{align}$$ Explicación:
$(2)$: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos
$(3)$: jalar $\log(n)$fuera de la suma
$(4)$: aplicar $(1)$
$(5)$: $j\lt k$para todos los términos de la suma
$(6)$: suma de enteros consecutivos
$(7)$: $k\ge0$

Desigualdad$(7)$dice

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{n!}{(n-k)!}\ge n^ke^{-\frac{k^2}{2(n-k)}}}\tag{8}$$ que es más fuerte que la desigualdad deseada ya que $\frac{\sqrt{2\pi}}e\lt1$.

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saltando paso$(7)$anterior (que solo debilita la desigualdad), obtenemos un límite inferior más estricto. Luego usando$\log(1-x)\lt-x$para obtener un límite superior, tenemos

$$n^ke^{-\frac{k^2-k}{2(n-k)}}\le\frac{n!}{(n-k)!}\le n^ke^{-\frac{k^2-k}{2n}}\tag{9}$$

Suponiendo que haya resuelto el caso de$k<2n/3$, aquí hay una prueba para el caso$k\geq 2n/3$. Asumir que$k,n>0$y eso$k\geq 2n/3$.

Usando la pista, obtenemos$n!\geq (n/e)^n\sqrt{2\pi n}$y$(n-k)!\leq e\sqrt{n-k}\left(\frac{n-k}{e}\right)^{n-k}$. De este modo,$\frac{n!}{(n-k)!}\geq \frac{(n/e)^n \sqrt{2\pi n}}{e\sqrt{n-k}\left(\frac{n-k}{e}\right)^{n-k}}=\frac{n^n}{(n-k)^{n-k}}\sqrt{2\pi n/(n-k)}\cdot\frac{1}{e^{k+1}}\geq \frac{n^n}{n^{n-k}}\sqrt{2\pi (n-k)/(n-k)}\cdot\frac{1}{e^{k+1}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}n^k e^{-k}$. Ahora la pregunta es: ¿Es$\exp(-k)\geq \exp\left(-\frac{k^2}{2(n-k)}\right)$para$k\geq 2n/3$, es decir, es$\exp(k)\leq \exp\left(\frac{k^2}{2(n-k)}\right)$para$k\geq 2n/3$? Sí, esto es cierto: la desigualdad anterior se cumple iff$k\leq \frac{k^2}{2(n-k)}$desde$\exp(x)$es creciente, es decir, iff$1\leq \frac{k}{2(n-k)}$es decir, si y si$2n\leq 3k$es decir, tiene iff$k\geq 2n/3$.