Desigualdad con factoriales descendentes

en El arte de la programación informática de Donald Knuth me encontré con la siguiente desigualdad:

$$\begin{equation} N^k - \binom{k}{2}N^{k-1} \leq N^{\underline{k}} \leq N^k. \end{equation}$$ dónde$N^{\underline{k}} = N(N-1)\ldots(N-k+1)$es el factorial descendente. Ya mostré la desigualdad correcta por inducción. Para la desigualdad de la izquierda también utilicé la inducción con respecto a$k \geq 1$pero me quedé en el paso de inducción: Let$N \in \mathbb{N}$y supongamos que la desigualdad se cumple para$k \geq 1$. Entonces $$\begin{align} N^{k+1} - \binom{k+1}{2} N^{k} = N \left( N^k - (k+1)(k-2)\binom{k}{2}N^{k-1} \right) \end{align}$$ lo que tengo es $$\begin{equation} N \left( N^k - (k+1)(k-2)\binom{k}{2}N^{k-1} \right) \leq N N^{\underline{k}} \end{equation}$$ y utilizando el requisito de inducción y $$\begin{equation} N^{\underline{k}} = N^{\underline{k+1}} \frac{1}{N-k} \end{equation}$$ para$N \neq k$Obtuve $$\begin{equation} N^{k+1} - \binom{k+1}{2} N^{k} \leq \frac{N}{N-k}N^{\underline{k+1}}. \end{equation}$$ Para$N < k$esto es claramente más pequeño que$N^{\underline{k+1}}$pero para$N > k$No sé cómo proceder. Tal vez la estimación sea demasiado aproximada, pero no sé cómo estimar el factor.$(k+1)(k-2) = k^2 - k - 2$de lo contrario.