Desigualdad de inducción/ n en exponencial

Question

Desigualdad de inducción/ n en exponencial

inducción
desigualdad
Matemáticas
prueba alternativa
am-gm-desigualdad
funcion exponencial

Parín

Necesito averiguar por inducción para qué $n \geq 0$ se cumple la siguiente desigualdad

3 norte + 2^{norte} \leq 3^{norte}

$3n+2^{n} \leq 3^n$

claramente no funciona para n=1 y n=2, por lo que mi hipótesis de inducción es que funciona para $n \geq 3$ , sin embargo, al realizar el paso de inducción, estoy un poco atascado

porque

$n \rightarrow n+1$

$3 (n+1) + 2^{n+1} \leq 3^{n+1}$

$3(n+1) + 2^{n} \cdot 2 \leq 3^n \cdot 3$

Recreé la desigualdad inicial dentro (overline)

$3n + 3 + 2^n + 2^n \leq (2+1) \cdot 3^n$

$2^n + 3 + \overline{3n + 2^n \leq 3^n} + 2\cdot 3^n$

Traté de mostrar que lo que se agregó en el LHS siempre es más pequeño que en el RHS, por lo tanto

$2n+3 \leq 2\cdot 3^n$

$2n + 3 \leq 3^n + 3^n$

entonces está claro que esto se cumple, pero ¿funcionaría la prueba de esa manera? en caso afirmativo, ¿existen otros enfoques más elegantes?

Respuestas (2)

Desigualdad de inducción/ n en exponencial

miguel rozenberg · Answer 1

De otra manera.

Para $n\geq3$ por AM-GM obtenemos:

3^{norte} - 2^{norte} = (3 - 2) (3^{norte - 1} + 3^{norte - 2} \cdot 2 + . . . + 3 \cdot 2^{norte - 2} + 2^{norte - 1}) \geq

$3^n-2^n=(3-2)\left(3^{n-1}+3^{n-2}\cdot2+...+3\cdot2^{n-2}+2^{n-1}\right)\geq$

\geq norte \sqrt[norte]{3^{norte - 1 + norte - 2 + . . . + 1} 2^{1 + . . . + norte - 1 + norte - 2}} = norte \cdot 6^{\frac{norte - 1}{2}} \geq norte \cdot 6^{\frac{3 - 1}{2}} = 6 norte > 3 norte .

$\geq n\sqrt[n]{3^{n-1+n-2+...+1}2^{1+...+n-1+n-2}}=n\cdot6^{\frac{n-1}{2}}\geq n\cdot6^{\frac{3-1}{2}}=6n>3n.$

Equipaje · Answer 2

Así que creo que todos los pasos necesarios en la prueba están ahí, solo que es mejor hacerlo de manera ligeramente diferente. Inicialmente escribes $3(n+1) + 2^{n+1} \leq 3^{n+1}$ y luego manipularlo. Sé que eso es lo que estás tratando de mostrar, pero nunca querrás manipular lo que estás tratando de mostrar. Es una buena forma comenzar con un lado de la desigualdad y avanzar hacia el otro lado. No querrás escribir ambos lados al mismo tiempo. Escribiría el paso de inducción de la siguiente manera:

queremos mostrar $3(n+1) + 2^{n+1} \leq 3^{n+1}$ . Por la hipótesis de inducción sabemos $3^n \geq 3n + 2^n$ para que podamos decir

\begin{aligned} 3^{norte + 1} & = 3 \cdot 3^{norte} \\ \geq 3 (3 norte + 2^{norte}) \\ = 3 (3 norte) + 2^{norte} \cdot 3 \end{aligned}

$\begin{align*} 3^{n+1} &= 3\cdot 3^n\\ &\geq 3(3n + 2^n)\\ &= 3(3n) + 2^n\cdot 3 \end{align*}$ ahora desde

n \geq 3

$n \geq 3$ , sabemos

3 n > n + 1

$3n > n+1$ y por supuesto

3 > 2

$3 > 2$ . Así que hacemos estas sustituciones y llegamos a

\begin{aligned} \geq 3 (norte + 1) + 2^{norte} \cdot 2 \\ = 3 (norte + 1) + 2^{norte + 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} &\geq 3(n+1) + 2^n\cdot 2\\ &= 3(n+1) + 2^{n+1}. \end{align*}$ Por lo tanto, hemos demostrado que la afirmación se cumple para

n + 1

$n+1$ .

Desigualdad de inducción/ n en exponencial

Parín

Respuestas (2)

miguel rozenberg

Parín

Equipaje

Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

Cálculo de n a partir de la cual una función exponencial es mayor que una polinomial

Desigualdad HM−GM−AMHM−GM−AMHM-GM-AM usando multiplicadores de Lagrange

Comparar logaritmos con diferentes bases

Duda en solución de APMO 1998 Problema de desigualdad

demostrando una desigualdad por contrapositiva

Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

¿Cómo puedo probar que esta secuencia es decreciente SIN usar inducción?

como resolver la siguiente desigualdad

pregunta sobre la desigualdad AM-GM ab<(a^2+b^2)/2 [cerrado]