Prueba de la desigualdad Fi<(5/3)iFi<(5/3)iF_i<(5/3)^i para los números de Fibonacci

El ejemplo dice:

Como ejemplo demostramos que los números de Fibonacci, F ₀ = 1, F ₁ = 1, F ₂ = 2, F ₃ = 3, F ₄ = 5,..., F _i = F _{i - 1} + F _{i - 2} , satisface F _i < (5/3) ⁱ , para todo i >= 1. Para ello, primero verificamos que el teorema es cierto para los casos triviales. Es fácil comprobar que F ₁ = 1 < 5/3 y F ₂ = 2 < 25/9; esto prueba la base. Suponemos que el teorema es cierto para i = 1, 2,..., k; esta es la hipótesis inductiva. Para probar el teorema, necesitamos mostrar que F _{k + 1} < (5/3) ^{k + 1} . tenemos f_{k + 1} = F _k + F _{k - 1}

Y obtuve todo eso hasta que comenzaron con el resto de la prueba, que dice así:

F _{k + 1} < (5/3) ^k + (5/3) ^{k - 1}

Lo tengo...

F _{k + 1} < (3/5)(5/3) ^{k + 1} + (3/5) ² (5/3) ^{k + 1}

Ahora estoy perdido, pero el resto de las matemáticas tiene sentido hasta el penúltimo paso.

F _{k + 1} < (3/5)(5/3) ^{k + 1} + (9/25)(5/3) ^{k + 1}
que se simplifica a
F _{k + 1} < (3/5 + 9/25)( 5/3) ^{k + 1}
F _{k + 1} < (24/25)(5/3) ^{k + 1}
F _{k + 1} < (5/3) ^{k + 1}

Las dos cosas que no entiendo son cómo llegaron al segundo paso de la prueba y cómo eliminaron el 24/25. Me siento realmente tonto en este momento. ¿Podría alguien mostrarme lo que me estoy perdiendo?