Demostrar que (3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2(3a+3b) !(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2\frac{(3 a+3 b) !( 2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}} es un número entero.

Pruebalo

$$\frac{(3 a+3 b) !(2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}}$$ es un entero para todos los pares de enteros positivos$a, b$(Mensual matemático estadounidense)

mi trabajo-

$v_{p}((3 a+3 b) !(2 a) !(3 b) !(2 b) !)=\sum_{k \geq 1}\left(\left\lfloor\frac{3 a+3 b}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2 a}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{3 b}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2 b}{p^{k}}\right\rfloor\right)$

y

$\begin{array}{l} v_{p}\left((2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}\right) \\ \quad \quad=\sum_{k \geq 1}\left(\left\lfloor\frac{2 a+3 b}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a+2 b}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a+b}{p^{k}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a}{p^{k}}\right\rfloor+2\left\lfloor\frac{b}{p^{k}}\right\rfloor\right) \end{array}$

ahora

Con la sustitución$x=\frac{a}{p^{k}}, y=\frac{b}{p^{k}},$tenemos que demostrar que para cualquier número real no negativo$x, y$tenemos$\lfloor 3 x+3 y\rfloor+\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 3 y\rfloor+\lfloor 2 y\rfloor \geq\lfloor 2 x+3 y\rfloor+\lfloor x+2 y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor x\rfloor+2\lfloor y\rfloor$

Traté de poner$\{x\}+\lfloor x\rfloor=x$y$\{y\}+\lfloor y\rfloor=y$y obtengo cosas en términos de partes fraccionarias pero no puedo probar después de eso...

gracias