¿Cuáles son las condiciones *necesarias* para el caos determinista?

¿Cuáles son las condiciones necesarias (por no decir condiciones suficientes ) en términos matemáticos para que un sistema dinámico determinista pueda transitar hacia un caos determinista?

Recolectamos todavía:

  1. Un ciclo de retroalimentación positiva
  2. no linealidad
  3. Mínimo de tres modos propios inestables
  4. ...???
Pregunta relacionada por OP: physics.stackexchange.com/q/68226/2451
Hola al-Hwarizmi, si no está satisfecho con las respuestas a su pregunta anterior, sería mejor dejar un comentario allí, pidiendo aclaraciones o ampliaciones.
@Qmechanic: creo que es más un duplicado que simplemente "relacionado", en realidad.

Respuestas (2)

La dimensión debe ser 3 o mayor. Si la dimensión es menor que 3, el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales le dirá que las funciones no pueden intersecarse (ya que desea que sean continuas y diferenciables).

En 1 dimensión, esto significa que solo puede tener movimiento en una dirección

En 2 dimensiones esto significa que su valor va al infinito o a un punto particular.

Necesitas 3 dimensiones o más para obtener estos extraños atractores y ese extraño comportamiento caótico.

Esto es cierto solo para sistemas dinámicos de tiempo continuo. En tiempo discreto, incluso los sistemas unidimensionales (como el mapa logístico ) pueden comportarse de forma caótica. Además, incluso en tiempo continuo, los sistemas bidimensionales aún pueden exhibir ciclos límite (no caóticos) además de divergencias y puntos de atracción.
Sí, por supuesto, el teorema que usé para dar la condición también era para ecuaciones diferenciales de variables continuas. Culpa mía :(.
¿Cómo sería el efecto de la dilatación del tiempo? y como el grado de memoria?
Creo que si está pensando en la relatividad, la mejor manera de parametrizar es usar el tiempo adecuado, ya que es invariable para todos los observadores. Y considerando los efectos de memoria, creo que son más estadísticos, lo que rompe su "determinismo" en un caos determinista.
Además, la variedad caótica no necesita ser un atractor, también puede ser una silla de montar caótica (que conduce a un caos transitorio).

Según Nonlinear Dynamics and Chaos de Steven Strogatz Los requisitos para el caos son:

  1. Sistema determinista (solo un futuro para cada estado)

  2. Patrones espaciales, temporales o espaciotemporales irregulares (una característica cualitativa)

  3. Un máximo exponente de Lyapunov positivo.

3) es más o menos el estándar cuantitativo en las revistas del caos, suponiendo que cumpla con las condiciones de 1). 2) es subjetivo y hay cosas como "caos estable" y puede haber un comportamiento periódico que parece irregular pero tiene un período muy largo antes de que se repita, por lo que debe tener cuidado con 2).

¿Cuáles son las condiciones *necesarias* para el caos determinista?
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