¿Cuáles son los principios del caos determinista?

Caos no es fácil de definir con precisión, pero usaré la definición de Nonlinear Dynamics and Chaos de SH Strogatz para mostrar las características en las que todos están de acuerdo:

El caos es un comportamiento aperiódico a largo plazo en un sistema determinista que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales .

El comportamiento aperiódico a largo plazo significa que no hay puntos fijos, órbitas cerradas, órbitas cuasiperiódicas en las que se establezcan las trayectorias del sistema. Por lo general, se agrega la restricción adicional de que estas trayectorias no son raras, es decir, existe un conjunto abierto de condiciones iniciales que conducen a tal trayectoria. O existe una probabilidad finita para tal trayectoria, dadas las condiciones iniciales aleatorias.

Por determinista queremos decir que el comportamiento caótico surge únicamente de la no linealidad del sistema, no de ninguna entrada estocástica o ruidosa. Entonces, el movimiento browniano, por ejemplo, está fuera de la mesa.

La dependencia sensible de las condiciones iniciales significa que las trayectorias se separan exponencialmente rápido ( exponente de Lyapunov positivo ). Aquí, rayohauno agregó que las trayectorias deben estar confinadas a un conjunto acotado. De hecho, mientras que las trayectorias se separan exponencialmente rápido, al mismo tiempo los volúmenes se reducen exponencialmente rápido en sistemas caóticos (fractales). Este conjunto acotado se llama atractor extraño . Sin embargo, hoy en día esto no suele considerarse una característica definitoria del caos.

Para ver algunos ejemplos de caos fuera de las matemáticas puras, eche un vistazo a la reacción química de Belousov-Zahbotinsky o el trabajo realizado por Cuomo y Oppenheim sobre el sorprendente efecto del caos sincronizado en un circuito analógico para realizar algo de magia espía.

Primero, necesita un sistema dinámico determinista. Por determinista se entiende que el estado del sistema se determina unívocamente en cada momento, es decir. en cada momento tienes uno y sólo un estado posible. En contrapartida están los sistemas estocásticos donde, en cambio, el estado del sistema está determinado por una distribución de estados posibles y es esta distribución la que evoluciona en el tiempo.

En segundo lugar, la idea principal detrás del caos es que la evolución del sistema es difícil de predecir en el siguiente sentido. La evolución del sistema suele estar determinada por un (conjunto de) ecuaciones de evolución. Estas ecuaciones suelen admitir una familia de soluciones y se puede especificar una y sólo una de ellas eligiendo la(s) condición(es) inicial(es) (más algunas veces de contorno). En general, una variación en la condición inicial te dará diferentes soluciones o trayectorias para la evolución del sistema. En los sistemas caóticos una pequeña variación de la condición inicial conduce a una trayectoria muy diferente a la original, pero ambas se acercan infinitamente (o se "mezclan") al mismo atractor. Esto tiene la implicación de que si tiene un "error"

Por lo general, la idea principal detrás de un sistema caótico es que dos trayectorias se desvían una de la otra exponencialmente rápido. Pero esto también puede ocurrir con sistemas no caóticos. Considere, por ejemplo, un crecimiento exponencial. No es periódico y es sensible a las condiciones iniciales, pero seguro que no es caótico. Más precisamente, si$y(x,t)$es un crecimiento exponencial con condición inicial$x$y corriendo a tiempo$t$, entonces

$y(x+\delta x,t) = e^{(x+\delta x)t} = e^{xt}.e^{(\delta x)t} = y(x,t).e^{(\delta x)t}$

indicando que la solución perturbada (lado izquierdo) se desvía exponencialmente rápido de la no perturbada (lado derecho). La principal diferencia es que en el sistema caótico (caótico) las trayectorias están confinadas a vivir en un espacio acotado, por lo que se vuelven "mezcladas". Entonces, una posible definición formal de un sistema caótico (asumido determinista) es: un sistema donde las trayectorias con diferentes condiciones iniciales se desvían exponencialmente en el tiempo, pero las trayectorias están restringidas a vivir en un espacio limitado. Existen algunos sistemas extraños en los que se pueden violar estas condiciones, pero esos no son los casos típicos. Al final, la propiedad importante es "mezclar", es decir. la trayectoria perturbada puede volverse arbitrariamente cercana y lejana (respetando los límites del espacio si están presentes) de la original.

Editar: Gracias por la edición GuySoft. Pero hay un error en tu corrección. No es una definición de sistema caótico que dos trayectorias con diferentes condiciones iniciales se desvíen exponencialmente. Es solo una propiedad de ellos. También necesita la propiedad adicional de que las trayectorias deben estar acotadas.