Número de homomorfismos ϕ:S4→D4ϕ:𝑆4→𝐷4 \phi: 𝑆_4 \to 𝐷_4

Question

Número de homomorfismos ϕ:S4→D4ϕ:𝑆4→𝐷4 \phi: 𝑆_4 \to 𝐷_4

Matemáticas
teoría de grupos
grupos diédricos
álgebra abstracta
grupos simétricos
grupo-homomorfismo

convergencia

Estoy tratando de encontrar el número de homomorfismos. $\phi: 𝑆_4 \to 𝐷_4$ (dónde $𝐷_4$ es el grupo diedro con $2\cdot4=8$ elementos).

Yo sé eso $𝑆_4$ es generado por el $6$ transposiciones ${(12),(13),(23),(14),(24),(34)}$ y un homomorfismo está determinado por los generadores. Además, ${\rm ord}(\phi(a))$ debe dividir ${\rm ord}(a)$ . Por lo tanto, el orden de la imagen de cualquier generador es $2$ o $1$ . Hay $4$ elementos de orden $2$ en $D_4$ . Pero aquí es donde me quedo atascado.

¿Cómo me ayudan estas observaciones a encontrar el número total de tales homomorfismos?

Javi

creo que quisiste decir

o r d (ϕ (a))

$ord(\phi(a))$ divide

o r d (a)

$ord(a)$ . Puede definir un homomorfismo simplemente diciendo dónde están los generadores de

S_{4}

$S_4$ están mapeados. Solo se pueden mapear a elementos cuyos órdenes dividen a 2 (entonces de orden 2 o triviales). Simplemente puede contar cuántas posibilidades hay (tenga en cuenta que se pueden asignar dos generadores diferentes al mismo elemento).

convergencia

¡Gracias! He corregido el error. Como los hay

4

$4$ elementos de orden

2

$2$ y un elemento de orden

1

$1$ en

D_{4}

$D_4$ , ¿puedo concluir que hay

5^{6}

$5^6$ tales homomorfismos ya que cada generador se puede mapear a cualquiera de estos cinco elementos?

Respuestas (2)

Número de homomorfismos ϕ:S4→D4ϕ:𝑆4→𝐷4 \phi: 𝑆_4 \to 𝐷_4

creo que quisiste decir $ord(\phi(a))$ divide $ord(a)$ . Puede definir un homomorfismo simplemente diciendo dónde están los generadores de $S_4$ están mapeados. Solo se pueden mapear a elementos cuyos órdenes dividen a 2 (entonces de orden 2 o triviales). Simplemente puede contar cuántas posibilidades hay (tenga en cuenta que se pueden asignar dos generadores diferentes al mismo elemento).
¡Gracias! He corregido el error. Como los hay $4$ elementos de orden $2$ y un elemento de orden $1$ en $D_4$ , ¿puedo concluir que hay $5^6$ tales homomorfismos ya que cada generador se puede mapear a cualquiera de estos cinco elementos?

matemáticas123 · Answer 1

¡Antes de mirar los generadores, primero observe que algunos elementos deben asignarse a la identidad!

Porque $D_4$ no tiene elementos de orden $3$ , cada $3$ -el ciclo debe corresponder a la identidad. Además, cada $2$ - $2$ -ciclo se puede escribir como un producto de $3$ -ciclos (por ejemplo $(12)(34) = (123)(234)$ ), por lo que cualquier producto de transposiciones también debe ir a $0$ .

A continuación, el núcleo de $\phi$ debe ser un subgrupo normal de $S_4$ . Los únicos subgrupos normales de $S_4$ son $S_4, A_4, V_4$ y el subgrupo identidad. eso lo acabamos de ver $V_4 = \{1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ tiene que mapear a la identidad. Por lo tanto, por el primer teorema del isomorfismo, cualquier homomorfismo

ϕ : S_{4} \to D_{4}

$\phi: S_4\to D_4$ factores automáticamente a través de

S_{4} / V_{4} ≅ S_{3}

$S_4/V_4 \cong S_3$ . Por lo tanto, es completamente equivalente contar los homomorfismos

S_{3} \to D_{4}

$S_3\to D_4$ .

Pero ahora, $C_3\subset S_3$ se asigna a la identidad, por lo que un homomorfismo $S_3\to D_4$ factores a través de $S_3/C_3\cong C_2$ .

Nos quedamos contando el número de homomorfismos

C_{2} \to D_{4},

$C_2\to D_4,$ o de manera equivalente, el número de elementos de orden que dividen

2

$2$ en

D_{4}

$D_4$ .

Desde el mapa $S_4 \to C_2$ se obtiene cociente por $A_4$ , deducimos que todos los mapas $S_4\to D_4$ tomar todas las no transposiciones a la identidad y todas las transposiciones a un elemento de orden $2$ en $D_4$ .

Arturo · Answer 2

Dejar $a = \phi(12)$ . Como ha notado, esta es la identidad, o uno de los cinco elementos de orden 2 de $D_4$ .

Considerar $\phi(23)$ . Desde $(12)(23)$ tiene orden $3$ , el elemento $\phi((12)(23))$ debe tener cualquier orden $3$ (imposible), o ser la identidad. De este modo $\phi(23) = \phi(12)^{-1} = a$ . Un argumento similar muestra que las otras cuatro transposiciones también deben asignarse a $a$ .

¿Cuántos candidatos a homomorfismos nos deja esto? ¿Todos estos son en realidad homomorfismos?

Como hay seis posibilidades para mapear $(12)$ y las otras cinco transposiciones se asignan todas al mismo elemento que (12), nos quedan seis candidatos para tales homomorfismos.
@convergence Sí, eso es exactamente. Ahora debe verificar si las seis funciones similares al homomorfismo resultantes $S_4\to D_4$ son de hecho homomorfismos. Uno de ellos es fácil, los otros cinco pueden ser un poco complicados si no estás acostumbrado al concepto de permutaciones pares e impares.
Ciertamente, el mapeo de todos los elementos para $id$ es un homomorfismo. Desafortunadamente, no estoy acostumbrado al concepto de permutaciones pares e impares.

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Javi

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matemáticas123

Arturo

convergencia

Arturo

convergencia

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El grupo es indescomponible pero la imagen homomórfica no lo es.

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