Grupos libres, generadores y homomorfismos de grupos

Dejar$F_2$ser el grupo libre con generadores$x_1$,$x_2$, y deja$F_3$ser el grupo libre con generadores$y_1$,$y_2$,$y_3$.

Definimos un homomorfismo de grupo$\phi:F_3\rightarrow F_2$por$\phi(y_1):=x_1^2$,$\phi(y_2):=x_1x_2$,$\phi(y_3):=x_2^2$, y otro homomorfismo de grupo$\psi:F_2\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$por$\psi(x_1):=1$,$\psi(x_2):=1$.

Demuestre que el núcleo de$\psi$es igual a la imagen del homomorfismo$\phi$, y por lo tanto es isomorfo a un grupo libre en tres generadores.

Hasta ahora demostré que$\phi$es inyectivo (¿relevante?); entonces procedí con:

$\ker(\psi)=\{x\in F_2:\psi(x)=0\}$

Buscamos$x \in F_2$tal que$\psi(x)=0$(elemento de identidad en$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$), luego, trabajando con los generadores,$0=1+1=$

• $=\psi(x_1)+\psi(x_2)=\psi(x_1x_2)$
• $=\psi(x_1)+\psi(x_1)=\psi(x_1^2)$
• $=\psi(x_2)+\psi(x_2)=\psi(x_2^2)$

Así que estas composiciones de generadores de$F_2$son mapeados a cero por$\psi$, y en particular su igual a, respectivamente,$\phi(y_2)$,$\phi(y_1)$,$\phi(y_3)$.

¿Es suficiente decir que$\ker(\psi)={\rm Im}(\phi)$?

¿De esto puedo concluir inmediatamente que es isomorfo a un grupo libre en tres generadores?