Homomorfismos de grupos infinitos a grupos finitos

Question

Homomorfismos de grupos infinitos a grupos finitos

Matemáticas
teoría de grupos
álgebra abstracta
grupo-homomorfismo

Hrafn Magnus

Sabemos que el número de homomorfismos de $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$ es igual a $(n,m)$ , el máximo común divisor de $n$ y $m$ . Además, el número de homomorfismos de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}_m$ va a $m$ .

Mi pregunta es, cuantos homomorfismos hay de $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}_m$ ?

Tenemos

Z_{norte} \times Z = ⟨ (1, 0), (0, 1) : norte \cdot (1, 0) = 0 ⟩,

$\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z} = \langle (1,0), (0,1): n \cdot (1,0) = 0\rangle,$ por lo que se puede determinar un homomorfismo especificando la imagen de los generadores. Por lo tanto, debemos enviar

(1, 0)

$(1,0)$ a un elemento que satisface

n \cdot ϕ (1, 0) = 0

$n \cdot \phi(1,0) = 0$ en

Z_{m}

$\mathbb{Z}_m$ .

De nuevo hay $(n,m)$ maneras de hacer esto, además necesitamos enviar $(0,1)$ a algo, y como se mencionó enviar esto a cualquier elemento de $\mathbb{Z}_m$ definirá un homomorfismo.

¿Podemos entonces decir el número de homomorfismos de $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}_m$ es $(n,m)\cdot m$ ?

marcavs

¡Si podemos!

${}$

Hrafn Magnus

@markvs: ¡Gracias por la rápida respuesta! Más generalmente, si conocemos el número de homomorfismos de

G

$G$ a

K

$K$ es

a

$a$ y el número de homomorfismos de

H

$H$ a

K

$K$ es

b

$b$ , entonces el número de homomorfismos de

G \times H

$G \times H$ a

K

$K$ es

a b

$ab$ ? ¿O hay algo especial en la situación anterior?

Respuestas (1)

Homomorfismos de grupos infinitos a grupos finitos

@markvs: ¡Gracias por la rápida respuesta! Más generalmente, si conocemos el número de homomorfismos de $G$ a $K$ es $a$ y el número de homomorfismos de $H$ a $K$ es $b$ , entonces el número de homomorfismos de $G \times H$ a $K$ es $ab$ ? ¿O hay algo especial en la situación anterior?

marcavs · Answer 1

Si $K$ es un grupo abeliano y hay $a$ homomorfismos $G\to K$ y $b$ homomorfismos $H\to K$ entonces el numero $c$ de homomorfismo $G\times H\to K$ es $ab$ . De hecho, si $\phi_1:G\to K$ , $\phi_2:H\to K$ son homomorfismos entonces $\phi: (g,h)\mapsto \phi_1(g)\phi_2(h)$ es un homomorfismo $G\times H\to K$ desde $K$ es abeliano. Sus restricciones a $G\times 1$ y $1\times H$ son $\phi_1,\phi_2$ . Por eso $c\ge ab$ .

Por otro lado, para todo homomorfismo $\phi$ de $G\times H\to K$ , sus restricciones a $G\times 1$ y $1\times H$ son homomorfismos $\phi_1,\phi_2$ tal que $\phi(g,h)=\phi_1(g,1)\phi_2(1,h)$ . Entonces $c\le ab$ .

De este modo $c=ab$ .

Homomorfismos de grupos infinitos a grupos finitos

Hrafn Magnus

marcavs

Hrafn Magnus

Respuestas (1)

marcavs

Imagen homomórfica de un grupo alterno.

El grupo es indescomponible pero la imagen homomórfica no lo es.

¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

¿Son lo mismo el teorema fundamental del homomorfismo y el primer teorema del isomorfismo?

Grupos libres, generadores y homomorfismos de grupos

Existencia de un homomorfismo sobre un grupo de S4S4S_4 a Z4Z4\Bbb Z_4

Anti-isomorfismos

Método (Cómo abordar) para encontrar el homomorfismo sobreyectivo entre T=R[x]JT=R[x]JT=\frac{\mathbb{R[x]}}{J} y S=R[x]IS=R [x]IS=\frac{\mathbb{R[x]}}{I} que es sobreyectiva

¿Es G/ker(ϕ)G/ker⁡(ϕ){G}/\ker(\phi) únicamente isomorfo a ϕ(G)ϕ(G)\phi(G)?

Ayuda a comprender el uso del primer teorema de isomorfismo con respecto al grupo lineal especial