Identidad con factorial descendente

Dejar ( X ) norte denote el factorial descendente,

( X ) norte = X ( X − 1 ) … ( X − norte + 1 ) .

Encontré la siguiente identidad al tratar de resolver otro problema.

∑ k = 1 metro ( a ) k ( X ) k = a X − a + 1 ( 1 − ( a − 1 ) metro ( X ) metro ) .

Esta identidad le permite encontrar formas cerradas para sumas como

∑ k = 0 metro Γ ( X + k ) Γ ( y + k )
o
∑ k = 0 C ( a k ) ( b k ) .

Es similar a una serie mencionada aquí ( suma infinita de cocientes factoriales descendentes ), excepto que mi suma es finita.

Probé la identidad por inducción, que no es demasiado difícil, siempre y cuando sepas lo que estás buscando. Aunque tengo un par de preguntas.

  • Traté de encontrar esta identidad mencionada en alguna parte, pero no pude encontrarla. ¿Es bien conocido, o un caso especial de una identidad más conocida?

  • Encontré la expresión en el lado derecho a través de prueba y error. ¿Existe una derivación más natural de la identidad, particularmente si conoce el lado izquierdo y está buscando el lado derecho?

Por ejemplo, después de multiplicar por ( X − a + 1 ) ( X ) metro , la identidad se convierte en una de polinomios en a y X , por lo que sería suficiente demostrarlo para números enteros suficientemente grandes a y X . Tal vez haya una explicación combinatoria.

Respuestas (3)

Probamos

(1) ∑ k = metro norte ( a k ) ( b k ) = b + 1 b − a + 1 ( ( a metro ) ( b + 1 metro ) − ( a norte + 1 ) ( b + 1 norte + 1 ) )

Partimos del lado derecho de (1) y obtenemos

b + 1 b − a + 1 ( ( a metro ) ( b + 1 metro ) − ( a norte + 1 ) ( b + 1 norte + 1 ) ) (2) = b + 1 b − a + 1 ∑ k = metro norte ( ( a k ) ( b + 1 k ) − ( a k + 1 ) ( b + 1 k + 1 ) ) (3) = b + 1 b − a + 1 ∑ k = metro norte ( a k ) ( b k ) ( 1 b + 1 b − k + 1 − a − k k + 1 b + 1 k + 1 ) = b + 1 b − a + 1 ∑ k = metro norte ( a k ) ( b k ) ( b − k + 1 b + 1 − a − k b + 1 ) = 1 b − a + 1 ∑ k = metro norte ( a k ) ( b k ) ( b − k + 1 − ( a − k ) ) = ∑ k = metro norte ( a k ) ( b k )
y sigue la reivindicación (1).

Comentario:

  • En (2) escribimos la expresión como suma telescópica.

  • En (3) factorizamos ( a k ) ( b k ) y simplificar en los siguientes pasos.

Integrales y Series, Prudnikov, et. Alabama. tiene en su sección de Suma Finita, como entrada 4.2.8.1

∑ k = metro norte ( a k ) ( b k ) = b + 1 b − a + 1 ( ( a metro ) ( b + 1 metro ) − ( a norte + 1 ) ( b + 1 norte + 1 ) )
Por lo tanto, se conoce la suma de OP y lo anterior es una generalización. No he tratado de demostrarlo.

Gracias. En realidad, esto es equivalente a la identidad en el OP. El OP se sigue de él por la permanencia de las identidades polinómicas, y esto se sigue del OP tomando la diferencia de las sumas para metro − 1 y para norte .

Aquí hay una prueba probabilística de la identidad en la respuesta de skbmoore, de la cual se sigue la identidad del OP.

Dado que la identidad se puede expresar como un polinomio en las variables a , b , basta probarlo cuando a es un entero positivo y b ≥ a es un número entero.

Dibujar elementos al azar del conjunto { 1 , 2 , … , b + 1 } , sin reemplazo, y se detiene cuando selecciona el primer elemento que no está en { 1 , 2 , … , a } . Dejar k + 1 sea ​​el número de elementos dibujados en total.

Entonces la probabilidad de que metro ≤ k ≤ norte se puede calcular de dos maneras.

Primero, es la probabilidad ( a metro ) ( b + 1 metro ) de dibujar el primero metro elementos en el conjunto { 1 , 2 , … , a } , menos la probabilidad ( a norte + 1 ) ( b + 1 norte + 1 ) de dibujar el primero norte + 1 elementos de ese conjunto.

En segundo lugar, es la suma sobre k = metro , … , norte , de la probabilidad de que K = k. Invirtiendo el orden del sorteo, esto es lo mismo que la probabilidad ( b + 1 − a ) / ( b + 1 ) de elegir el primer elemento fuera del conjunto { 1 , 2 , … , a } , multiplicado por la probabilidad en ese caso de elegir el siguiente k elementos en ese conjunto, que es ( a k ) ( b k ) .

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