Demostrar una identidad factorial interesante (que cae)

Question

Demostrar una identidad factorial interesante (que cae)

factorial
Matemáticas
combinatoria
pruebas combinatorias
coeficientes binomiales

fawadría

Dejar $(x)_{n}=x(x-1)\ldots(x-n+1)$ para $n>0$ y $(x)_0=1$ .

probar que si $n<k$ , entonces

\sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) (X - i)_{norte} = 0

$\begin{equation} \displaystyle\sum_{i=0}^k (-1)^i {{k}\choose{i}}(x-i)_n=0 \end{equation}$

¿Alguna idea? Tenga en cuenta que $n=0$ es trivial ya que estás sumando coeficientes binomiales alternos.

usuario418131

x

$x$ es una constante?

fawadría

Sí. Puedes pensar en LHS como un polinomio en

x

$x$

Respuestas (1)

Demostrar una identidad factorial interesante (que cae)

usuario90369 · Answer 1

Por ejemplo:

$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i {\binom k i} (x-i)_n = \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i {\binom k i} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} (x-i)_n =$

$\displaystyle = \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i {\binom k i} (1+z)^{x-i} = z^k (1+z)^{x-k} = \sum\limits_{j=0}^\infty {\binom {x-k} j} z^{k+j}$

Comparando los coeficientes de $\,z^n\,$ prueba la afirmación.

¿Qué pasa con la convergencia? Hace $(1+z)^{x-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}(x-i)_n$ aguantar siempre?
Solo para $|z|<1$ . Pero un valor de $z$ no es importante, solo es necesario que $(1+z)^{x-i}$ se puede desarrollar en una serie de Taylor alrededor $z=0$ . Aquí se llama serie binomial . (por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series , ver serie binomial)
Sí, de hecho. Por cierto, si está interesado: usaré esta pequeña prueba en un artículo que estoy escribiendo. Si quieres, menciono tu nombre en los agradecimientos.
Gracias, pero: Todo lo que está escrito aquí en este foro, es de uso libre. No hay necesidad de mencionar a alguien. :-) --- Nota: Puedes mencionar Wikipedia .

Demostrar una identidad factorial interesante (que cae)

fawadría

usuario418131

fawadría

Respuestas (1)

usuario90369

fawadría

usuario90369

fawadría

usuario90369

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Prueba combinatoria del teorema factorial y binomial descendente

Prueba combinatoria sobre factoriales decrecientes y sumas de factoriales decrecientes

Identidad con factorial descendente

Prueba combinatoria para series de números de Stirling y coeficientes binomiales

Demostrando una identidad interesante con sumas parciales de filas de triángulos de Pascal

Interpretación combinatoria de la identidad: ∑j=0b(bj)2(n+j2b)=(nb)2∑j=0b(bj)2(n+j2b)=(nb)2\sum\limits_{j=0} ^b\binom{b}{j}^2\binom{n+j}{2b}=\binom{n}{b}^2

Cómo probar que (nr)(nr)n \choose r = n+1−rrn+1−rr\frac{n+1-r}{r} (nr−1)(nr−1)n \choose r -1 sin usar la expansión factorial de (nr)(nr)n \choose r? [cerrado]

Identidad del coeficiente binomial de prueba: ∑nk=0kk!nk(nk)=n∑k=0nkk!nk(nk)=n\sum_{k=0}^n\frac{kk!}{n^k}\binom{ n}{k}=n

Prueba combinatoria de que los coeficientes binomiales centrales son los más grandes