Series infinitas que involucran coeficientes binomiales generalizados y doble factorial

Recientemente descubrí la siguiente serie infinita

∑ k = 0 ∞ ( t k ) ( − 1 ) k ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k − 2 ) ! ! = 2 t Γ ( t + 1 2 ) π Γ ( t + 1 )

dónde ( t k ) = ( t ) k k ! es el coeficiente binomial generalizado ( t es un número real). Cualquier sugerencia u orientación sobre la prueba será muy apreciada.

Parece que el lado derecho está relacionado con el recíproco de la función beta completa:

Desde B ( t , 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( t ) Γ ( t + 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( t + 1 ) t Γ ( t + 1 2 )

⟹ 1 B ( t , 1 2 ) = t Γ ( t + 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( t + 1 ) = t Γ ( t + 1 2 ) π Γ ( t + 1 )

Entonces, esta suma es una especie de serie de expansión para el recíproco de la función beta completa:

2 B ( t , 1 2 ) = ∑ k = 0 ∞ ( t k ) ( − 1 ) k ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k − 2 ) ! !

¿Cuál es la pregunta?
Si alguien tiene una pista sobre la prueba

Respuestas (1)

Su serie se puede reescribir como un caso límite de la función hipergeométrica de Gauss:

2 límite C → 0 ⁡ 1 Γ ( C ) 2 F 1 ( − t , − 1 2 ; C ; 1 ) .
Debe expresar los términos en términos de funciones gamma para ver esto. Entonces, usando http://dlmf.nist.gov/15.4.E20 , tenemos
2 límite C → 0 ⁡ 1 Γ ( C ) 2 F 1 ( − t , − 1 2 ; C ; 1 ) = 2 límite C → 0 ⁡ Γ ( C + t + 1 2 ) Γ ( C + t ) Γ ( C + 1 2 ) = 2 Γ ( t + 1 2 ) Γ ( t ) Γ ( 1 2 ) = 2 t Γ ( t + 1 2 ) π Γ ( t + 1 ) .

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