¿Trayectorias de coeficientes binomiales?

Question

¿Trayectorias de coeficientes binomiales?

Matemáticas
combinatoria
Matemáticas discretas
coeficientes binomiales

33ted

Aquí hay un problema y mi intento de responderlo:

Queremos obtener una identidad de coeficiente binomial que dependa del recorrido de la cuadrícula. Comenzando desde la esquina inferior izquierda y yendo a la esquina superior derecha. Solo puedes mover 1 paso hacia arriba y 1 a la izquierda a la derecha. Hay n filas y m columnas en la cuadrícula. Cualquier camino particular tiene que usar solo 1 borde en la columna k-ésima. Dependiendo de cuál de los n+1 bordes utilizados, clasifique sus caminos. Por ejemplo, las líneas azules, tiene n = m = 10 y k = 4 (si contamos desde 0). Entonces, la identidad será:

\sum_{i = 0}^{norte} F (norte, metro, k, i)

$\sum_{i=0}^{n} f(n,m,k,i)$ =

(\binom{m + n}{n})

$m+n\choose n$

Halla el valor de f(n,m,k,i). ¿Cuál es la identidad de la imagen de abajo?

¿ Qué piensas de mi respuesta aquí ?

Respuestas (1)

¿Trayectorias de coeficientes binomiales?

Stefan4024 · Answer 1

Su solución parece ser correcta. No sé cómo derivar su solución, pero aquí está mi idea. Tenga en cuenta que para encontrar el número total de formas que pasan por un segmento azul en el $k-$ la columna y $i-$ Podemos dividir el camino en dos partes más pequeñas. Eventualmente usted tiene que prestar en la intersección de la $k-$ la línea vertical y $i-$ ª línea horizontal (la inferior y la más a la izquierda son 0). El número total de formas es

Y = (\binom{k + i}{k})

$Y = \binom{k+i}{k}$

Luego tenemos que ir un paso a la derecha y encontramos todos los caminos desde la intersección de la $(k+1)-$ línea y $i-$ línea th. El número total de vías es:

Z = (\binom{metro - (k + 1) + (norte - i)}{norte - i})

$Z = \binom{m-(k+1) + (n-i)}{n-i}$

Ahora solo multiplica los dos resultados.

¿Trayectorias de coeficientes binomiales?

33ted

Respuestas (1)

Stefan4024

Prueba combinatoria (y algebraica) de una identidad que involucra números Lah

Contando las formas en la cuadrícula si uno puede moverse de (x,y)(x,y)(x,y) a (x+a,x+b)(x+a,x+b)(x+a, x +b) para x,y,a,b≥0x,y,a,b≥0x,y,a,b\geq 0 arbitrario.

Problema combinatorio: bolas negras y blancas divididas en k grupos con límites, y luego seleccionando una secuencia de solo bolas negras.

Número de rutas en una cuadrícula de S a M

Prueba combinatoria de x(n)=∑nk=1L(n,k)(x)kx(n)=∑k=1nL(n,k)(x)kx^{(n)} = \sum_{k = 1}^n L(n,k)(x)_k

Explicación combinatoria de por qué n2=(n2)+(n+12)n2=(n2)+(n+12)n^2 = {n \elegir 2} + {n+1 \elegir 2}

Demostración de identidades mediante interpretación combinatoria de coeficientes binomiales

Extraer coeficientes para resolver la relación de recurrencia

Probabilidad de que dos elementos particulares se agrupen en una partición aleatoria con tamaños fijos

Un gráfico máximo conectado GGG sin ciclos de longitud de al menos k+1k+1k+1 tiene |V(G)|≤k|V(G)|≤k|V(G)| \leq k o tiene un vértice cortado cuando k≥2k≥2k \geq 2