Todo homomorfismo An→SnAn→SnA_n\to S_n se extiende a un endomorfismo de SnSnS_n para n≥5n≥5n\geq 5

Dejar$n\geq 5$,$S_n$el grupo simétrico en$n$letras y$A_n$el grupo alterno correspondiente.

Quiero mostrar que todo homomorfismo$g:A_n\to S_n$se extiende a un endomorfismo$\tilde{g}:S_n\to S_n$compatible con la inclusión$i:A_n\to A_n$, es decir$\tilde{g}\circ i=g$.

Desde hace$n\geq 5$el grupo$A_n$es simple,$g$debe ser inyectiva o trivial, así que centrémonos en el caso inyectivo. Ya que necesitamos$\tilde{g}\circ i=g$, resulta que$\tilde{g}$debe ser inyectable también. De groupprops sé que para$n\geq 5$los elementos de$End(S_n)$son de uno de estos tres tipos: automorfismos, triviales, tienen imagen de orden dos.

Por lo tanto,$\tilde{g}$debe ser un automorfismo. De la misma página sé que para$n\neq 6$tenemos$Aut(A_n)=Aut(S_n)=S_n$, todos ellos dados por conjugación. Ahora, desde$g$es un isomorfismo en su imagen, surge mi primera pregunta:

1. ¿Hay subgrupos de$S_n$isomorfo a$A_n$que no son iguales a$A_n$(definido como el subgrupo de permutaciones pares)? Si no entonces$g$es un automorfismo de$A_n$, que viene dada por conjugación por un elemento de$S_n$y por lo tanto se puede extender fácilmente a todos$S_n$.

Para el caso$n=6$, no he podido encontrar la estructura de automorfismo de$S_n$y$A_n$, solo se que$S_n< Aut(S_n)=Aut(A_n)$. Entonces mi segunda pregunta es:

2. ¿Cómo puedo extender$g$cuando$n=6$?