Homomorfismo de anillos sobreyectivo de polinomio a números complejos

Dejar R [ X ] denote el anillo de todos los polinomios con coeficientes en R . Encuentre un homomorfismo de anillo sobreyectivo ϕ : R [ X ] → C y calcular su núcleo.

No sé cómo empezar porque el polinomio puede tener infinitos coeficientes pero los números complejos están en la forma a + b i .

Respuestas (1)

El homomorfismo de anillos sobreyectivo más fácil R [ X ] → C toma el polinomio X a i ∈ C , pero de hecho, la asignación de cualquier número complejo no real funcionaría.

Observe que la imagen de X únicamente ya determina el mapa como se supone que es un homomorfismo.

+1. Aparte: el mapa que ha descrito es el homomorfismo de evaluación en i (quizás esto permitirá que el OP calcule el kernel más fácilmente).
¿Cómo puedo elegir x? ¿Debería permitir que la entrada sea todos los polinomios posibles ya que ese es el anillo que me dieron?
Y también si cada valor individual de x se toma como i, ¿cómo es sobreyectivo?
No, no todos los polinomios se asignan a i , solo el elemento ' X ' de [ X ] . Entonces por ejemplo el polinomio X 2 − X + 2 mapas a i 2 − i + 2 = 1 − i como el homomorfismo respeta las operaciones de anillo ( + , − ⋅ ).
Homomorfismo de anillos sobreyectivo de polinomio a números complejos
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