Preimagen de discos bajo un polinomio complejo

Dejar$\zeta_1, \dots, \zeta_n$ser las raíces de$p$(no necesariamente distintos). Dejar$R$ser lo suficientemente grande para que todos los segmentos$[\zeta_i, \zeta_j]$conectando distintas raíces$\zeta_i \ne \zeta_j$están contenidos en$U_R$.

afirmo que$U_R$es conexo y simplemente conexo.

1)$U_R$está conectado:

Supongamos que no. Entonces (por elección de$R$) todas las raíces se encuentran en un componente de$U_R$. Dejar$V$ser un componente diferente. Tenemos$|p(z)| > 0$para todos$z \in V$y$\overline V$es acotado, por lo tanto compacto. Por lo tanto$p$asume un mínimo en$\overline V$.

en el límite$\partial V$tenemos$|p(z)|\ge R$, por lo que el mínimo debe estar en$V$. Dado que este mínimo debe ser estrictamente mayor que$0$por nuestra elección de$V$, esto es una contradicción con el teorema del módulo máximo ($p$no es constante).

Esto prueba que$U_R$debe estar conectado.

2)$U_R$es simplemente conectado:

Una vez más, supongamos que este no fuera el caso. Entonces el complemento tiene una componente acotada$A$. Desde$A$está cerrado,$|p(z)|$toma un máximo en algún punto$z_0\in A$. Ahora, elige una bola abierta.$B$alrededor$z_0$que solo se cruza$A$y posiblemente$U_R$(tal bola existe porque el complemento$\mathbb C\setminus U_R$de$U_R$está cerrado y$A$está desligado del resto de$\mathbb C\setminus U_R$).

Pero ahora$|p(z)|<R\le |p(z_0)|$en$B\cap U_R$y$|p(z)|\le |p(z_0)|$en$B\cap A$por elección de$z_0$.

Esto nuevamente contradice el teorema del módulo máximo, ya que$p$es no constante.

Esto prueba la afirmación.

La afirmación junto con el teorema de mapeo de Riemann muestra que$U_R$es homeomorfo al disco unitario.