Operaciones binarias conmutativas en CC\Bbb C que se distribuyen tanto en la multiplicación como en la suma

¿Existe una operación binaria conmutativa no trivial en C que se distribuye tanto en la multiplicación como en la suma?

En otras palabras, si nuestra operación se denota por ⊙ , entonces quiero que se mantenga lo siguiente:

  1. a ⊙ ( b ⋅ C ) = a ⊙ b ⋅ a ⊙ C
  2. a ⊙ ( b + C ) = a ⊙ b + a ⊙ C
  3. a ⊙ b = b ⊙ a

Todas las cosas que puedo encontrar hasta ahora se distribuyen en multiplicaciones o sumas, pero no en ambas. Alternativamente, ¿hay alguna prueba de que tal operación no pueda existir?

No estaba seguro de si esta pregunta era demasiado elemental para MO, así que lo intentaré aquí primero. Esta pregunta está indirectamente relacionada con las siguientes otras preguntas que hice en MO y aquí:

Respuestas (2)

Una de esas operaciones es a ⊙ b = 0 para todos a , b . Afirmo que esta es la única operación de este tipo. De hecho, tenemos

a ⊙ C = a ⊙ ( 1 ⋅ C ) = ( a ⊙ 1 ) ⋅ ( a ⊙ C ) .
Tomando C = 1 da eso a ⊙ 1 debe ser cualquiera 0 o 1 para cada a . Pero si a ⊙ 1 = 1 , entonces ( a + a ) ⊙ 1 = 2 , lo cual es imposible. así que de hecho a ⊙ 1 = 0 para todos a , y ahora la ecuación anterior nos dice a ⊙ C = 0 para todos C también.

Este argumento utiliza sólo el hecho de que ⊙ distribuye sobre la multiplicación a la izquierda y ⊙ se distribuye sobre la suma de la derecha. Con una ligera modificación, se aplica igualmente bien con C reemplazado por cualquier anillo en el que 2 no es un divisor de cero. Tenga en cuenta que en anillos arbitrarios, puede haber otras operaciones similares ⊙ . Por ejemplo, en un anillo booleano (en el que a ⋅ a = a para todos a ), a ⊙ b = a ⋅ b es tal operación.

Para aclarar: si a ⋅ C = 0 para todos C entonces en particular a ⋅ 1 = 0 , de lo contrario si a ⋅ C ≠ 0 para algunos C entonces la ecuación fuerza a ⋅ 1 = 1 .
Gracias, esta es obviamente la respuesta correcta y la he aceptado. Sin embargo, tengo una pregunta sobre la etiqueta de MSE: ahora estoy interesado en operaciones que coincidan con mi descripción original, pero eso puede no estar definido para 1. ¿Lo publico como una pregunta separada, edito esta o...?
Por cierto, esto no es solo que yo sea difícil, sino que en realidad está relacionado con el problema original que estaba tratando de resolver con el anillo de Dirichlet. Si mezcla los anillos de convolución ordinarios y de Dirichlet, obtiene una estructura interesante de 3 operaciones similar a lo que estoy preguntando, excepto por algunas dificultades en cómo funciona la convolución de Dirichlet con la identidad de convolución ordinaria. La situación se puede resolver allí dejando ciertas cosas sin definir y, como resultado, conduce a una estructura bastante agradable, por lo que tengo curiosidad por saber si también se puede resolver aquí.
@MikeBattaglia: Debería publicar eso como una nueva pregunta.
No importa de todos modos, aquí hay un resultado más fuerte que no depende de ninguna identidad multiplicativa. 2[a@(b c)] = a@(b c) + a@(b c) = (a+a) @ (b c) = [(a+a) @ b] * [(a+a ) @ c] = [(a@b) + (a@b)] * [(a@c) + (a@c)] = (a@b)(a@c) + (a@b)( a@c) + (a@b)(a@c) + (a@b)(a@c) = a@(b c) + a@(b c) + a@(b c) + a@ (b c) = 4[a@(b*c)] Así que la existencia de dos tipos de distributividad es, en sí misma, mala. Necesito repasar ese anillo de Dirichlet otra vez, ya que claramente arruiné algo aquí.
Ack, los comentarios destrozaron esto: lo volveré a publicar como otra respuesta.

Para agregar a la respuesta anterior de Eric, ni siquiera requiere la existencia de una identidad multiplicativa para derribar esto. Vea abajo:

2 [ a ⊙ ( b ⋅ C ) ] = a ⊙ ( b ⋅ C ) + a ⊙ ( b ⋅ C ) = ( a + a ) ⊙ ( b ⋅ C ) = [ ( a + a ) ⊙ b ] ⋅ [ ( a + a ) ⊙ C ] = [ ( a ⊙ b ) + ( a ⊙ b ) ] ⋅ [ ( a ⊙ C ) + ( a ⊙ C ) ] = ( a ⊙ b ) ( a ⊙ C ) + ( a ⊙ b ) ( a ⊙ C ) + ( a ⊙ b ) ( a ⊙ C ) + ( a ⊙ b ) ( a ⊙ C ) = a ⊙ ( b ⋅ C ) + a ⊙ ( b ⋅ C ) + a ⊙ ( b ⋅ C ) + a ⊙ ( b ⋅ C ) = 4 [ a ⊙ ( b ⋅ C ) ]

Te dije que podría terminar siendo más trivial de lo que piensas. :-)
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