¿Homología distinta de singular?

El libro "Topología algebraica nonabeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica" (publicado por la EMS, 2011), adopta un enfoque no tradicional de la frontera entre homología y homotopía.

La forma habitual, como dices, es reemplazar un espacio$X$por su complejo singular simplicial$SX$y luego hacer construcciones sobre eso. Una herramienta clave es la aproximación simplicial. Después de algún trabajo, uno es capaz de definir las cadenas celulares de un$CW$-complejo, y al aplicarlo a una cubierta universal de reducido$CW$-complejo$X$para obtener una cadena compleja con el grupo fundamental de$X$como un grupo de operadores.

Ahora la realización geométrica$Y=|SX|$es un complejo CW y, por lo tanto, está filtrado por su esqueleto, es decir, es un espacio filtrado, es decir, tiene una secuencia creciente$Y_n$de subespacios.

El enfoque en el libro es definir un funtor (en realidad algo clásico)$\Pi: FTop \to Crs$dónde$FTop$es la categoría de espacios filtrados, y$Crs$es la categoría de los llamados complejos cruzados . Este funtor se define homotópicamente usando el grupoide fundamental$\pi_1(Y_1,Y_0)$y los grupos de homotopía relativa$\pi_n(Y_n,Y_{n-1},y), y \in Y_0$. Esta es una estructura más fuerte que un complejo de cadena con un grupo (oide) de operadores. Tiene características no abelianas en dimensiones$1,2$y en dimensiones superiores da$\pi_1$-módulos. No se hace uso de la aproximación simplicial, pero se hace un uso clave de los métodos cúbicos: son convenientes porque permiten "subdividir los inversos algebraicos", lo que lleva a Teoremas de Seifert-van Kampen de orden superior, y debido a la regla$I^m \times I^n \cong I^{m+n}$. Esto conduce a una estructura cerrada monoidalk para complejos cruzados.

También hay un funtor$\nabla$de complejos cruzados a complejos en cadena con un grupoide de operadores; este funtor tiene un adjunto derecho, y para un$CW$-complejo$X$con su filtración esquelética,$\nabla \Pi (X_*)$es de hecho la cadena compleja de cubiertas universales de$X$en varios puntos base, con el grupoide fundamental$\pi_1(X,X_0)$como grupoide de operadores. Sin embargo$\Pi X_*$tiene mejores propiedades de realización que el complejo de cadena correspondiente.

Varias de estas ideas se remontan a JHC Whitehead en su artículo de 1949 "Homotopía combinatoria II", pero el uso de métodos cúbicos de esta manera, de métodos colímites para el cálculo y de categorías cerradas monoidales, permiten un mejor escenario para las ideas de Whitehead. .

Hay muchos problemas, por ejemplo, el uso de$R$-módulos para un anillo$R$, y el libro concluye con una lista de 32 problemas y áreas problemáticas. 

También se incluye la historia, la motivación y muchos cálculos, por ejemplo, de homotopía.$2$-tipos a través de módulos cruzados, no disponibles para los métodos tradicionales.

El trabajo para el libro comenzó en la década de 1970 e involucró a muchos colegas y estudiantes de investigación. El objetivo de la publicación era poner todo este trabajo en un solo lugar en un estilo consistente para que fuera más fácil de evaluar.