¿Diferencia entre homología simple y singular?

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¿Diferencia entre homología simple y singular?

Matemáticas
cosas simples
Topología algebraica
homología-cohomología

usuario48168

Tengo algunas dificultades para entender la diferencia entre homología simple y singular. Soy consciente del hecho de que son isomorfos, es decir, los grupos de homología son de hecho los mismos (y tal vez esto no ayude a mi intuición), pero tengo problemas para ver en qué parte de la configuración difieren.

A mi entender, el complejo de cadena singular en un espacio $X$ consiste en los grupos abelianos libres generados por los conjuntos de $n$ -simples en X, donde un $n$ -simplex en este contexto es un mapa continuo $\sigma : \Delta^n \to X$ de la geometría estándar $n$ -símplex $\Delta^n$ a $X$ , con mapa de límites $\partial_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i d_i$ dónde $d_i: C_n (X) \to C_{n-1} (X)$ es el $i$ mapa de la cara ("borrando" el $i$ vértice). Los grupos de homología singulares son entonces los grupos de homología de este complejo (es decir, $H_n(X)=\ker(\partial_n)/\text{im}(\partial_{n+1})$ ).

Ahora para la homología simplicial, tenemos un complejo simplicial $S$ , que es un conjunto de simples (¿abstractos?) ordenados, tales que una cara de cualquier simplex en $S$ es en sí mismo un símplex en $S$ . Entonces formamos el complejo de cadena simplicial donde $C_n(S) = \mathbb{Z}[S_n]$ , dónde $S_n \subset S$ es el conjunto de $n$ -simples en $S$ , es decir, el grupo abeliano libre generado por $S_n$ . Este complejo tiene operador de límite $\partial_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i d_i$ , dónde $d_i$ es el $i$ mapa de la cara. Los grupos de homología de esto es $H^\Delta_n(S) = \ker(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})$ . Ahora, para que esto tenga algún sentido en un marco topológico, tenemos la realización de $S$ , $|S| = \coprod (S_n \times \Delta^n) / (d_i \sigma, y) \sim (\sigma, d^iy)$ para todos $(\sigma, y) \in S_n \times \Delta^{n-1}$ y $d^i$ es el mapa coface. (Según tengo entendido, $S$ es un modelo de cómo "ensamblar" el geométrico $n$ -simples para formar un espacio). Y luego, por supuesto, si quieres hablar de un espacio específico $X$ , necesitas encontrar un complejo simplicial $S$ , cuya realización es homeomorfa a $X$ .

Puedo ver muy bien que estos dos son dos formas muy diferentes de construir el marco, pero lo que no entiendo es dónde difiere en la práctica. ¿No requieren ambos que encuentres una manera de dividir $X$ en $n$ -simples? La única diferencia que veo es si mapeas desde $\Delta^n$ en $X$ antes o después de formar sus grupos de homología, pero debe haber algo que me estoy perdiendo...

usuario27126

La homología singular NO requiere que divida

X

$X$ en

n

$n$ -simples. En particular, tenga en cuenta que en homología singular. El

σ : Δ^{n} \to X

$\sigma: \Delta^n \to X$ no necesita ser un homeomorfismo de ningún tipo; solo se requiere que sea continuo y puede ser salvajemente singular. (Creo que esta es la razón del nombre de homología "singular"). Esto le da a la homología singular mucha ventaja sobre la homología simplicial: no necesita tener una estructura simplicial para empezar, y no necesita mostrar que dos estructuras simpliciales en el mismo espacio le dan la misma homología.

Aaron Mazel Gee

Aquí hay una observación que también puede ayudar a aclarar las cosas. Tenga en cuenta que para cualquier espacio

X

$X$ puedes formar los simples singulares

S_{*} (X)

$S_*(X)$ , que es una de esas cosas abstractas y complejas a las que te refieres. El conjunto

S_{n} (X)

$S_n(X)$ es exactamente el conjunto de aplicaciones continuas

Δ^{n} \to X

$\Delta^n \rightarrow X$ . Ahora, hay un mapa evidente

| S_{*} (X) | \to X

$|S_*(X)| \rightarrow X$ , y esta es una equivalencia de homotopía débil ; en particular, la homología simplicial de

S_{*} (X)

$S_*(X)$ no es ni más ni menos que la homología singular de

X

$X$ .

oliver

También es bueno notar que en la homología simple, los grupos de cadenas serán relativamente pequeños. En todos sus ejemplos favoritos, cada uno tendrá un rango finito porque solo tiene un número finito de simples en cada dimensión. Sin embargo, en homología singular, el rango es el número de mapas de un símplex en su espacio. Debido a que puede enviar el simplex a cualquier punto que elija, el rango será al menos el número de puntos en su espacio, es decir, ¡casi siempre incontables! Entonces, los grupos de cadenas singulares son mucho más grandes, pero su homología, por supuesto, todo se cancela.

usuario48168

Ah, creo que entiendo. Solo para aclarar una cosa; cuando en el marco de la homología singular, entonces (tiene que) considerar todos los mapas posibles

Δ^{n} \to X

$\Delta^n \to X$ , o simplemente eliges alguna cobertura de

X

$X$ ?

usuario27126

Consideras todos los mapas posibles.

usuario48168

¡Gracias! Intenté resumir mi (nueva) comprensión de estos dos conceptos en una respuesta a continuación, principalmente para verificar si entendí todo correctamente.

Respuestas (1)

¿Diferencia entre homología simple y singular?

La homología singular NO requiere que divida $X$ en $n$ -simples. En particular, tenga en cuenta que en homología singular. El $\sigma: \Delta^n \to X$ no necesita ser un homeomorfismo de ningún tipo; solo se requiere que sea continuo y puede ser salvajemente singular. (Creo que esta es la razón del nombre de homología "singular"). Esto le da a la homología singular mucha ventaja sobre la homología simplicial: no necesita tener una estructura simplicial para empezar, y no necesita mostrar que dos estructuras simpliciales en el mismo espacio le dan la misma homología.
Aquí hay una observación que también puede ayudar a aclarar las cosas. Tenga en cuenta que para cualquier espacio $X$ puedes formar los simples singulares $S_*(X)$ , que es una de esas cosas abstractas y complejas a las que te refieres. El conjunto $S_n(X)$ es exactamente el conjunto de aplicaciones continuas $\Delta^n \rightarrow X$ . Ahora, hay un mapa evidente $|S_*(X)| \rightarrow X$ , y esta es una equivalencia de homotopía débil ; en particular, la homología simplicial de $S_*(X)$ no es ni más ni menos que la homología singular de $X$ .
También es bueno notar que en la homología simple, los grupos de cadenas serán relativamente pequeños. En todos sus ejemplos favoritos, cada uno tendrá un rango finito porque solo tiene un número finito de simples en cada dimensión. Sin embargo, en homología singular, el rango es el número de mapas de un símplex en su espacio. Debido a que puede enviar el simplex a cualquier punto que elija, el rango será al menos el número de puntos en su espacio, es decir, ¡casi siempre incontables! Entonces, los grupos de cadenas singulares son mucho más grandes, pero su homología, por supuesto, todo se cancela.
Ah, creo que entiendo. Solo para aclarar una cosa; cuando en el marco de la homología singular, entonces (tiene que) considerar todos los mapas posibles $\Delta^n \to X$ , o simplemente eliges alguna cobertura de $X$ ?
¡Gracias! Intenté resumir mi (nueva) comprensión de estos dos conceptos en una respuesta a continuación, principalmente para verificar si entendí todo correctamente.

usuario48168 · Answer 1

Solo para resumir, principalmente para mi propia referencia, pero pensé que otros podrían encontrarlo útil. (Soy nuevo en el sitio, así que disculpe si esto no debería ser una respuesta...)

Primero algunas nociones preliminares:

Para un espacio topológico $X$ , un $n$ -simple en $X$ es un mapa continuo $\Delta^n \to X$ de la geometría estándar $n$ -símplex $\Delta^n$ en $X$ . Los mapas $d^i: \Delta^{n-1} \to \Delta^{n}$ , envía $\Delta^{n-1}$ a la cara de $\Delta^n$ sentado frente a la $i$ el vértice de $\Delta^n$ .

un ordenado $n$ -simplex es un conjunto parcialmente ordenado $n_+ = \{ 0 < 1 < \cdots < n \}$ . El $n+1$ elementos de $n_+$ se llama los vértices de $\sigma$ . los subconjuntos de $n_+$ se llaman las caras de $\sigma$ . Hay morfismos de simples $d^i: (n-1)_+ \to n_+$ llamados mapas de cofaces , dados por $d^i((n-1)_+) = \{ 0 < 1 < \dots < î < \cdots < n \}$ omitiendo el $i$ el vértice de $n_+$ .

Entonces para las dos homologías:

El complejo de cadena singular (no reducido) en un espacio $X$ , es el complejo de cadenas

\dots \overset{\partial_{norte + 1}}{\to} C_{norte} (X) \overset{\partial_{norte}}{\to} C_{norte - 1} (X) \overset{\partial_{norte - 1}}{\to} \dots C_{1} (X) \overset{\partial_{1}}{\to} C_{0} (X) \to 0

$\cdots \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n(X) \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1}(X) \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \to 0$ dónde

C_{n} (X)

$C_n(X)$ es el grupo abeliano libre

Z [S_{n} (X)]

$\mathbb{Z}[S_n(X)]$ generado por el conjunto

S_{n} (X) = {σ : Δ^{n} \to X}

$S_n(X) = \{ \sigma : \Delta^n \to X \}$ de todo

n

$n$ -simples en

X

$X$ (es decir, el conjunto de todos los mapas continuos

Δ^{n} \to X

$\Delta^n \to X$ ). Los mapas de límites

\partial_{n} : C_{n} (X) \to C_{n - 1} (X)

$\partial_n : C_n(X) \to C_{n-1}(X)$ es dado por

\partial_{n} (σ) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} σ d^{i} : Δ^{n - 1} \to Δ^{n} \to X

$\partial_n (\sigma) = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i \sigma d^i : \Delta^{n-1} \to \Delta^n \to X$ .

El $n$ grupo de homología $H_n(X) = \ker(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})$ de este complejo es el $n$ grupo de homología singular de $X$ .

Un complejo simplicial $S$ es un conjunto $S = \bigcup_{n=0}^{\infty} S_n$ dónde $S_n = S(n_+)$ siendo un conjunto de ordenados $n$ -simples, tales que una cara de cualquier simplex en $S$ es en sí mismo un símplex en $S$ . El complejo de cadena simplicial

\dots \overset{\partial_{norte + 1}}{\to} C_{norte} (S) \overset{\partial_{norte}}{\to} C_{norte - 1} (S) \overset{\partial_{norte - 1}}{\to} \dots C_{1} (S) \overset{\partial_{1}}{\to} C_{0} (S) \to 0

$\cdots \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n(S) \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1}(S) \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots C_1(S) \xrightarrow{\partial_1} C_0(S) \to 0$ consiste en los grupos abelianos libres

C_{n} (S) = Z [S_{n}]

$C_n(S) = \mathbb{Z}[S_n]$ generado por el

n

$n$ -simples. El mapa de límites

\partial_{n} : C_{n} (S) \to C_{n - 1} (S)

$\partial_n : C_n(S) \to C_{n-1}(S)$ es dado por

\partial_{n} (σ) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} d_{i} σ

$\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^i d_i \sigma$ dónde

d_{i} = S (d^{i}) : S_{n} \to S_{n - 1}

$d_i = S(d^i) : S_n \to S_{n-1}$ son los mapas de caras

d_{i} (σ) = σ \circ d^{i}

$d_i(\sigma) = \sigma \circ d^i$ .

El $n$ th grupos de homología de este complejo $H^\Delta_n(S) = \ker(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})$ es el $n$ th grupo de homología simplicial de $S$ .

Por último tenemos la realización de $S$ , $|S| = \coprod (S_n \times \Delta^n) / \left((d_i \sigma, y) \sim (\sigma, d^iy) \right)$ para todos $(\sigma, y) \in S_n \times \Delta^{n-1}$ , dónde $d_i \sigma \times \Delta^{n-1}$ se identifica con la $i$ la cara de $\sigma \times \Delta^n$ .

Entonces, si quieres decir algo sobre un espacio específico $X$ , necesitas encontrar un complejo simplicial $S$ , cuya realización es homeomorfa a $X$ (es decir, triangulas $X$ y encuentre los grupos de homología del complejo simplicial resultante).

NOTA: Siéntase libre de editar cualquier error y aclarar donde lo considere necesario. Todavía no estoy 100% cómodo con eso todavía ...

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