Homología, cohomología, número de Euler para variedades no orientables

En lo que sigue, por cohomología me referiré a la cohomología de De Rham . cada variedad$M^m$de dimensión$m$se supone que es compacto .

Para colector orientable sé los siguientes resultados

1. De la dualidad de Poincaré:$H_k(M,\mathbb{R}) \simeq H^k(M)$;
2. numero betti$b_n$es la dimensión de la parte libre de torsión del$n$th grupo de homología y por lo tanto, también la dimensión de$n$grupo de cohomología;
3. La característica de Euler es la suma alternada de los números betti: $$χ(M)= ∑_{i=0}^m (-1)^ib_i= ∑_{i=0}(-1)^i\dim H^i(M).$$

Sé también que la dualidad de Poincaré no se cumple, al menos en su versión original, para la variedad no orientada, así como otros resultados que para la variedad orientable se dan por sentados. Mis preguntas son:

1. ¿Cuál es la relación entre$H^i(M)$y$H_i(M,\mathbb{R})$(el último es la parte libre de torsión de$H(M,\mathbb{Z})$como un grupo. Al conocer uno de los dos, ¿qué puedo inferir del otro?
2. En consecuencia, el número de Betti, definido por la dimensión de la parte libre de torsión de la homología, ¿puede pensarse también como la dimensión de la cohomología?
3. ¿Sigue siendo cierto que la suma alternativa de la dimensión del grupo de cohomología produce la característica de Euler?

Detecto estos puntos, calculando el$\mathbb{Z}$-Homología, Cohomología y característica de Euler de la Botella de Klein, el Plano Proyectivo Real y la tira de Möbius, y todas estas "conjeturas" están verificadas, pero espero que este no pueda ser el caso general.

Descubrí que en los libros, mientras que para el caso orientado la red de resultados es bastante clara, para los casos no orientados no es así. ¿Podría también darme alguna referencia (posiblemente no demasiado técnica ya que soy físico)?