Dualidad de Poincaré en la Dimensión Media

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Dualidad de Poincaré en la Dimensión Media

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usuario7090

Estoy leyendo un artículo que establece el siguiente teorema sin prueba:

Dualidad de Poincaré en la dimensión media: Sea $M$ ser una variedad orientada conexa de dimensión par $2d$ . Luego, el producto de taza induce una forma bilineal no degenerada.

$H^{norte} (METRO; R) \times H^{norte} (METRO; R) \to H^{2 norte} (METRO; R)$ $H^n(M ; \mathbb{R}) \times H^n(M ; \mathbb{R}) \to H^{2n}(M ; \mathbb{R})$ que es simétrico si $n$ es uniforme y sesgadamente simétrica si $n$ es impar.

He estado buscando en Hatcher una posible prueba o más descripción del teorema.

Encontré que el emparejamiento de productos de taza no es degenerado en el caso de que los coeficientes estén en un campo o $\mathbb{Z}$ y la torsión se elimina.

En el caso de $\mathbb{R}$ nuestros grupos de cohomología están libres de torsión, por lo que al menos el emparejamiento del producto de copa será no singular.

Sin embargo, el teorema, tal como se establece en el artículo, se refiere a la forma bilineal inducida por el producto de taza y no solo al emparejamiento del producto de taza.

¿Por qué la forma bilineal no es singular para el producto taza?

anomalía

Una forma bilineal es solo un emparejamiento de un espacio consigo mismo.

usuario7090

El maridaje taza producto se definió como

α ⌣ α [M]

$\alpha \smile \alpha [M]$ dónde

[M] \in H^{2 n} (M; R)

$[M] \in H^{2n}(M; R)$ representa la clase fundamental. Parece que el teorema anterior es un poco más general que eso.

usuario7090

En realidad, supongo que desde los generadores de clases fundamentales

H^{2 n} (M; R)

$H^{2n}(M ; R)$ el emparejamiento de productos en taza, tal como se define en Hatcher, se define así para todos los elementos de

H^{2 n} (M; R)

$H^{2n}(M ;R)$ .

Respuestas (1)

Dualidad de Poincaré en la Dimensión Media

Una forma bilineal es solo un emparejamiento de un espacio consigo mismo.
El maridaje taza producto se definió como $\alpha \smile \alpha [M]$ dónde $[M] \in H^{2n}(M; R)$ representa la clase fundamental. Parece que el teorema anterior es un poco más general que eso.
En realidad, supongo que desde los generadores de clases fundamentales $H^{2n}(M ; R)$ el emparejamiento de productos en taza, tal como se define en Hatcher, se define así para todos los elementos de $H^{2n}(M ;R)$ .

Najib Idrissi · Answer 1

Hay un pequeño abuso de notación. Primero, $M$ tiene que ser compacto para que todo esto tenga sentido; probablemente esté escrito en algún lugar antes en el periódico. Cuando $M$ es compacto, orientable y conexo, $H^{2d}(M;\mathbb{R})$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ , y la elección de una orientación equivale básicamente a la elección de un isomorfismo $H^{2d}(M;\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ , dada por $\alpha \mapsto \langle \alpha, [M] \rangle$ .

Luego puede componer el producto de la taza y este isomorfismo para obtener una forma bilineal (una forma bilineal no es más que un mapa bilineal $V \times V \to \mathbb{R}$ ):

H^{d} (METRO; R) \times H^{d} (METRO; R) \overset{⌣}{\to} H^{2 d} (METRO; R) \overset{⟨ -, [METRO] ⟩}{\to} R .

$H^d(M;\mathbb{R}) \times H^d(M;\mathbb{R}) \xrightarrow{\smile} H^{2d}(M;\mathbb{R}) \xrightarrow{\langle -, [M] \rangle} \mathbb{R}.$ Decir que el producto de taza no es degenerado equivale exactamente a decir que esta forma bilineal no es degenerada, más o menos por definición. No hay ningún negocio divertido en marcha, solo una identificación de

H^{2 d} (M; R)

$H^{2d}(M;\mathbb{R})$ con

R

$\mathbb{R}$ .

Dualidad de Poincaré en la Dimensión Media

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anomalía

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Respuestas (1)

Najib Idrissi

¿El emparejamiento inducido por el producto de cuña y la integración no es degenerado en las formas de De Rham?

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