¿Hay un nombre para este conjunto de fracciones que se combinan para formar otras fracciones?

Esto es un poco torpe, así que tengan paciencia conmigo.

He estado buscando comprar una plantilla para espigas que, si no lo sabes, es una herramienta para trabajar la madera que te permite perforar agujeros para espigas en una pieza de madera.

Algunas plantillas perforarán un agujero justo en el medio del borde de la madera.

Pero algunos vienen con espaciadores que te permiten compensar ese agujero.

Por ejemplo, el dowelmax tiene espaciadores que tienen estos grosores (en pulgadas): 1/8, 3/8, 6/8, 13/8.

Si necesita una compensación que no sea uno de estos números, puede combinarlos. Por ejemplo, si quiero una compensación de 1/2, puedo agregar 1/8 a 3/8.

Pero también puedo usar la resta: si necesito un desplazamiento de 5/8, puedo poner el 6/8 en un lado y el 1/8 en el otro. Esto es como 6/8-1/8=5/8. Muy inteligente.

Calculé todas las combinaciones que podía hacer en una hoja de cálculo y estos son los resultados:

+--------+------------------------+
| needed |         combo          |
+--------+------------------------+
| 1/8    | 1/8                    |
| 2/8    | 3/8 - 1/8              |
| 3/8    | 3/8                    |
| 4/8    | 1/8 + 3/8              |
| 5/8    | 6/8 - 1/8              |
| 6/8    | 6/8                    |
| 7/8    | 6/8 + 1/8              |
| 8/8    | 13/8 + 1/8 - 6/8       |
| 9/8    | 6/8 + 3/8              |
| 10/8   | 1/8 + 3/8 + 6/8        |
| 11/8   | 13/8 - 3/8 + 1/8       |
| 12/8   | 13/8 - 1/8             |
| 13/8   | 13/8                   |
| 14/8   | 13/8 + 1/8             |
| 15/8   | 13/8 + 3/8 - 1/8       |
| 16/8   | 13/8 + 3/8             |
| 17/8   | 13/8 + 3/8 + 1/8       |
| 18/8   | 13/8 + 6/8 - 1/8       |
| 19/8   | 13/8 + 6/8             |
| 20/8   | 13/8 + 6/8 + 1/8       |
| 21/8   | 13/8 + 6/8 + 3/8 - 1/8 |
| 22/8   | 13/8 + 6/8 + 3/8       |
| 23/8   | 13/8 + 6/8 + 3/8 + 1/8 |
+--------+------------------------+

Mi pregunta principal es: ¿Hay un nombre para este tipo de cosas?

Además, ¿hay otras opciones de números además de 1, 3, 6, 13, que harían esto?

Lo único que pensé que quizás estaba relacionado fueron las denominaciones de las monedas. Para eso, en el Reino Unido hay 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200. Los EE. UU. usan 1, 5, 10, 25, 50, 100. Estos se pueden combinar, pero necesitaría grandes múltiplos de cada uno ya que no se puede restar.

(Supongo que el objetivo es tener pocos espaciadores, combinaciones simples y una gama completa de combinaciones desde 1/8 hasta la suma de todos los espaciadores. ¿1, 3, 6, 13 es la mejor manera?)

Hice algunos garabatos para encontrar otras combinaciones y descubrí que si solo tenías 1/8, 3/8 y 9/8, ya puedes hacer combinaciones de 1/8 a 13/8.

Esto es muy parecido al rompecabezas de seleccionar cinco pesos enteros para usar en una balanza para cubrir pesos de hasta 100 . Eso fue preguntado y respondido en MathematicsSE en Cómo pesar hasta 100 kg con 5 pesas . La respuesta cubre una buena manera de alcanzar totales arbitrariamente altos en relativamente pocos pesos.
@Marcas. Gracias, voy a comprobar eso.
¿Por qué 1,3,6,13 y no 1,3,9,27? Si hicieras eso, entonces podrías hacer 5 = 9-3-1, 6 = 9-3, 7 = 9-3+1, 8 = 9-1, etc., y tus cuatro espaciadores te llevarían hasta 40 en lugar de solo a 23. Si la solución 1,3,9,27 funciona para usted, entonces la respuesta es fácil de describir: cada espaciador debe ser exactamente tres veces el tamaño del siguiente espaciador más pequeño. Esto se conoce con el nombre de “ representación ternaria equilibrada ”.
@MJD Funciona, así que me pregunto si tal vez la empresa usa 1, 3, 6, 13 para tamaños de madera comunes o algo así.
¿Quizás se cansaron de contestar llamadas telefónicas de personas que no saben cómo hacer 20 a partir de 1,3,9,27? ¿O tal vez hay alguna razón mecánica, si usa demasiados espaciadores a la vez, la pieza de trabajo se tambalea, o 1,3,6,13 es más fácil de fabricar de manera confiable, o algo así? O podría haber alguna razón comercial: quieren la oportunidad de cobrar extra por un espaciador de 24/8 pulgadas a las pocas personas que lo necesitarán.
@MJD Estoy pensando lo mismo. También me pregunto ahora si los tamaños de madera son como son exactamente por esta razón: para que pueda combinar tablones de madera para que coincidan con el grosor de otros.
Es posible que desee ver las funciones generadoras . La función generadora de tu problema es
( X − 1 + 1 + X ) + ( X − 3 + 1 + X 3 ) ( X − 6 + 1 + X 6 ) ( X − 13 + 1 + X 13 ) .
Si deja que Wolfram|Alpha lo multiplique por usted , puede ver (en "Formas alternativas") que todos los poderes de X de 1 a 23 están en el producto.

Respuestas (2)

La respuesta matemática es bien conocida: los espaciadores deben ser potencias de 3:

1 , 3 , 9 , 27 , 81 , …
y esto es óptimo en el sentido de que:

  1. Puede hacer todos los tamaños hasta un máximo
  2. Cualquier otro juego de espaciadores que pueda hacer todos los tamaños hasta ese máximo requiere al menos tantas piezas.

Por ejemplo, los cuatro espaciadores 1 , 3 , 9 , 27 te llevará hasta 40 unidades en lugar de solo 23:

1 1 2 3 − 1 3 3 4 3 + 1 5 9 − 3 − 1 6 9 − 3 7 9 − 3 + 1 8 9 − 1 9 9 10 9 + 1 11 9 + 3 − 1 12 9 + 3 13 9 + 3 + 1 14 27 − 9 − 3 − 1 ⋮ ⋮ 40 27 + 9 + 3 + 1

El sistema se conoce como representación ternaria equilibrada .

Surge la pregunta de por qué la compañía de plantillas le proporciona 1 , 3 , 6 , 13 en lugar de 1 , 3 , 9 , 27 . Aquí no hay forma de saberlo sin preguntar porque se aplicarán problemas comerciales y de ingeniería del mundo real. En los comentarios, especulé:

  • ¿Quizás se cansaron de contestar llamadas telefónicas de personas que no saben cómo hacer 20 a partir de 1,3,9,27?
  • O tal vez haya alguna razón mecánica, si usa demasiados espaciadores a la vez, la pieza de trabajo se tambalea,
  • ¿O 1,3,6,13 es más fácil de fabricar de manera confiable, o algo así?
  • O podría haber alguna razón comercial: quieren la oportunidad de cobrar extra por un espaciador de 24/8 pulgadas a las pocas personas que lo necesitarán.

Hay una historia folklórica sobre un matemático que descubrió las dimensiones de una lata de acero que usaría la cantidad mínima de material para lograr el volumen deseado, y que informó a la compañía de alimentos enlatados que sus latas no eran óptimas. Enviaron una carta larga y reflexiva explicando las muchas razones por las que sus latas no tenían el tamaño matemáticamente "óptimo". Por ejemplo, es deseable que todos los tamaños de latas tengan el mismo diámetro, porque en la fábrica se puede usar el mismo equipo de tapado y transporte para cada tamaño de lata. A menudo, este tipo de consideración práctica supera las consideraciones matemáticas.

(Quiero encontrar la carta sobre los tamaños de las latas, pero no he podido. Agradecería a cualquiera que pudiera proporcionar un enlace).
Fuera de tema, pero una vez me senté junto a un tipo en un avión que trabajaba para Coca-Cola, y me explicó por qué las latas de refresco ya no son cilíndricas sino que se estrechan cerca de la parte superior: es porque el metal utilizado para la parte superior es mucho más caro, y el área reducida compensa la dificultad de estrechar los lados.
Les envié un correo electrónico para obtener la respuesta final a esto. Informaré si escucho algo. :)
@MJD Su respuesta: "Buena pregunta. Hace más de veinte años que diseñé el sistema, y ​​en ese momento los costos de fabricación eran prohibitivos, lo que se reflejaba en el precio de venta. El 3/4" fue diseñado para centrar y también para compensaciones. Un tamaño más grande no sería agradable para las compensaciones, pero podría agregarse si fuera necesario. El espaciador de 1 5/8" fue diseñado para acomodar material de 4", y los montantes más largos eran compatibles para la instalación de ese espaciador. Un tamaño más grande requeriría más material y tacos más largos".
El texto de la carta sobre los tamaños óptimos de las latas se reproduce en pleacher.com/mp/mlessons/calculus/mobcarna.html

Una vez que tengas la 1 , 3 puedes hacer cualquier número hasta 4 . El siguiente podría ser tan grande como 9 , como 5 = 9 − 3 − 1 . Desde allí puedes hacer cualquier número hasta 13 , por lo que el próximo podría ser 27 como 27 − 9 − 3 − 1 = 14 . Los tamaños continuarían como las potencias de 3 . En cada etapa puede usar un número más pequeño que el dado. El mayor que puedes usar es uno más del doble de la suma de los números hasta ahora.

¿Hay un nombre para este conjunto de fracciones que se combinan para formar otras fracciones?
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