¿Cómo llegaron a denominarse así el grupo Simétrico y el Grupo Alterno?

El grupo Dihedral tiene sentido, "Di" significa dos, y "hedral" significa ... forma, creo (me acabo de dar cuenta de cuánto de lo que creo que significan las palabras son conjeturas basadas en la experiencia) como un "polígono" es un 2d forma, un "poliedro" que siempre he pensado es simplemente "cualquier forma" (ejemplo 3 dimensiones). Entonces "Diédrico" significa 2 dimensiones, lo cual es. (El octágono y el cubo tienen diferentes... grupos de reflexión+rotación (espero))

El grupo simétrico no tiene nada que ver con simetrías de formas, sino que es el grupo de todas las biyecciones de un conjunto a otro. Supongo que esto significa simetría como en "abc->acb" tiene la versión "simétrica" ​​" a b C → b a C ".

Ahora el grupo alterno... No tengo idea.

Ahora descubrí esto en "Álgebra" y "Álgebra abstracta", pero eché un vistazo a la página de contenido del libro de combinatoria que estoy leyendo y allí se discute la simetría, esto tiene mucho sentido realmente, la combinatoria parece ser el estudio. de funciones finitas y parece ser más fácil que las funciones en los reales y esas cosas (que se sentía extraño mientras estaba dibujando X 3 antes estaba considerando funciones "discretas", pero en todo caso son más fáciles)

Así que supongo que fueron nombrados porque Combinatorics llegó primero. ¿Cómo? A qué pregunta (caso general) se enfrentaba que llevó a la solución a llamarse "El grupo simétrico" (o incluso conjunto, dudo que a la combinatoria le importe que sea un grupo).

A veces, cómo y por qué son similares, como puntos de inflexión, "¿cómo decidimos llamar d y d X = 0 un punto de inflexión" y "por qué" son idénticos. Sin embargo, puede haber muchos "por qué" con estos grupos, ya que se aplican en muchas áreas, solo puede haber un cómo. Dónde surgió el término por primera vez sería un buen punto de partida, pero Todavía tengo que encontrar algo.

Contestaré esto yo mismo si mi búsqueda produce algo.

Solo una suposición: el mapa S norte → ± 1 alterna entre 1 y − 1 , y tiene kernel A norte , que puede ser la fuente de ese nombre.
@AlexBecker Odio preguntar esto (puede parecer tonto), pero ¿qué es ese mapa? ¿El mapa que asigna una permutación en n a + o -1? (cómo lo haría), tampoco estoy seguro de qué sería un kernel en ese caso, a menos que 1 sea la permutación de identidad.
Hay varias formas de definirlo. La más simple es probablemente escribir una permutación como una matriz y tomar su determinante. ± 1 es solo el grupo { 1 , − 1 } bajo la multiplicación, entonces 1 es la identidad y el núcleo es la preimagen de 1 .
No creo que haya ninguna razón para sentirse tonto; todos tenían que aprender eso en algún momento. Pero no dudes en borrar el comentario si lo deseas.

Respuestas (1)

Esto está tomado de la respuesta de Timothy Chow en https://mathoverflow.net/questions/74208/meaning-of-alternating-group , que responde a su pregunta:

En el libro de Burnside, Theory of Groups of Finite Order , al definir los grupos simétricos y alternos, coloca un asterisco junto a la palabra "alternativo" y agrega la siguiente nota al pie:

" El grupo simétrico se ha llamado así porque las únicas funciones del norte los símbolos que no se ven alterados por todas las sustituciones del grupo son las funciones simétricas. Todas las sustituciones del grupo alterno dejan inalterada la raíz cuadrada del discriminante. "

Por "la raíz cuadrada del discriminante", Burnside se refiere al polinomio

∏ r = 1 norte − 1 ∏ s = r + 1 norte ( a r − a s ) ,
que por supuesto es un polinomio alterno.

Hice una pequeña edición para agregar el nombre del autor de la respuesta que está citando.
@AndresCaicedo ¡Gracias por la útil edición!
@ sanath: buena referencia
¿Cómo llegaron a denominarse así el grupo Simétrico y el Grupo Alterno?
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