Personas sentadas alrededor de dos mesas con sillas numeradas

de cuantas maneras 3 k las personas pueden sentarse en sillas numeradas alrededor de dos mesas redondas? La primera mesa tiene 2 k sillas, la segunda mesa tiene k sillas. ¿De cuantas maneras se pueden sentar si dos personas fijas tienen que sentarse una al lado de la otra? Asumir que k ≥ 2

Traté de resolverlo pero resultó que mi solución es incorrecta.

Respuestas (1)

PISTA:

  • ¿Cuántas formas hay para elegir? 2 k del 3 k gente a sentarse en la primera mesa?
  • Ahora imagine que los asientos en la primera mesa están numerados de 1 a 2 k . ¿En cuántos órdenes diferentes puede 2 k personas elegidas para la primera mesa se sientan en esos asientos? Tenga en cuenta que puede especificar un asiento enumerando el 2 k personas en el orden en que aparecen en los asientos 1 a través de 2 k .
  • ¿En cuántas órdenes pueden los restantes k la gente se sienta en el k asientos en la segunda mesa?
  • Finalmente, ¿qué tienes que hacer con estos tres números para obtener la respuesta final?

Agregado (y corregido): Para manejar la segunda pregunta, divídala en dos casos dependiendo de si las personas especificadas se sientan en la primera mesa o en la segunda. Si se sientan en el primero, hay 2 k pares de asientos adyacentes que pueden elegir, y pueden sentarse en ellos en cualquier orden, por lo que hay 4 k formas de sentarse. El restante 3 k − 2 las personas pueden sentarse en cualquier orden en el resto 3 k − 2 asientos. Si se sientan en la segunda mesa, hay k pares de asientos adyacentes que pueden elegir, y pueden sentarse en ellos en cualquier orden, por lo que hay 2 k maneras para que ellos se sienten, y el resto 3 k − 2 las personas pueden volver a sentarse en cualquier orden en el resto 3 k − 2 asientos.

Tenga en cuenta, sin embargo, que este análisis falla para k = 1 y k = 2 . Para k = 1 la pareja especificada debe sentarse en la primera mesa, por lo que solo hay 2 posibles asientos. Para k = 2 la primera parte del análisis está bien: si se sientan en la primera mesa, hay 8 maneras para que se sienten, y el resto 4 la gente puede sentarse en cualquiera de los restantes 4 asientos. Sin embargo, si se sientan en la segunda mesa, sólo hay 2 arreglos posibles para ellos, no 4 .

Es la respuesta ( 3 k ) ! ?
@user4201961: Sí, lo es. Por cierto, me acabo de dar cuenta de que hay una forma más corta de llegar a ese resultado: cada forma de sentarlos se obtiene únicamente alineándolos en cualquiera de los ( 3 k ) ! órdenes posibles, luego teniendo la primera 2 k tomar asiento 1 a través de 2 k en la primera mesa en ese orden, y finalmente tener el último k tomar asiento 1 a través de k en la segunda mesa en ese orden.
Gracias. ¿Qué hay de la segunda parte? "¿De cuántas maneras se pueden sentar si dos personas fijas tienen que sentarse una al lado de la otra?"
@user4201961: Lo siento, me perdí esa parte. Déjame agregar algo a mi respuesta. Bien, hecho; mira si eso ayuda
Es la respuesta 4 ⋅ ( 3 k − 1 ) ! ?
@user4201961: Me parece bien.
Pero si una persona doble se sienta en la primera mesa, entonces podemos elegir una silla para él en 2 k − 1 maneras. Otro 3 k − 2 las personas pueden sentarse en ( 3 k − 2 ) ! maneras. Y si una persona doble se sienta en la segunda mesa, entonces podemos elegir una silla para él en k − 1 maneras. Otro 3 k − 2 las personas pueden sentarse en ( 3 k − 2 ) ! maneras. Entonces la respuesta final es 4 ⋅ ( 3 k − 2 ) ⋅ ( 3 k − 2 ) !
@user4201961: En realidad, ambos estamos equivocados; Ayer me apresuré demasiado y cometiste un par de errores en tu último comentario. Dame unos minutos para corregir mi respuesta a la segunda parte.
@user4201961: Específicamente, su factor de 4 debe ser un factor de 2 , por tener el par especificado de asientos de intercambio, y su factor de 3 k − 2 debiera ser 3 k : en realidad hay 2 k pares de asientos adyacentes en la primera mesa, no 2 k − 1 , y del mismo modo hay k parejas en la segunda mesa.
entonces la respuesta es 6 k ⋅ ( 3 k − 2 ) ! ?
@user4201961: Sí, para k ≥ 3 : el análisis se rompe para k = 1 y k = 2 , y agregaré una nota en ese sentido.
Muchas muchas gracias.
@user4201961: De nada; Siento haberlo hecho mal por ti al principio.
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