Incapaz de entender el significado de un término en cuestión en el libro Richard Brualdi Introductory Combinatorics in Chapter Polya Counting

He usado el libro de Brualdi en el pasado, pero actualmente no tengo acceso a una copia. Google Books me muestra tres extractos relevantes de la segunda edición. El primero está en la página 554:

Como resultado, un conjunto de permutaciones que resulta de considerar todas las simetrías de una figura es automáticamente un grupo de permutaciones. Por lo tanto, tenemos un grupo de simetría de esquinas , un grupo de simetría de bordes , un grupo de simetría de caras , etc.

Servaes ahora ha publicado una respuesta muy útil que incluye un extracto más largo que contiene el mismo texto.

El segundo es un par de ejercicios en la página 590:

5. Determinar el grupo de simetría y el grupo de simetría de los vértices de un triángulo que no es equilátero ni isósceles.

6. Determinar el grupo de simetría de un tetraedro regular. (Pista: hay 12 simetrías).

El tercero, en la página 609, es una aparente respuesta a un ejercicio:

3. El grupo de simetría contiene solo el movimiento de identidad. El grupo de simetría de las esquinas contiene solo la permutación de identidad de las tres esquinas.

Esto parece la respuesta al Ejercicio 5 mencionado anteriormente, aunque el número del problema no corresponde.

La cita en la respuesta de Servaes confirma que el grupo de simetría de una figura es el conjunto de movimientos geométricos que mapean la figura a sí misma. Tendrá que encontrar los pasajes relevantes en el libro que definen si estos movimientos incluyen rotaciones y reflexiones o rotaciones solamente. (Comenzaría buscando el texto citado anteriormente. El texto que lo rodea puede contener información útil). Mi suposición, basada en la sugerencia del ejercicio 6, es que se trata solo de rotaciones.

Discutiré el tetraedro porque proporciona un buen ejemplo de por qué es necesario distinguir el grupo de simetría, el grupo de simetría de esquina, el grupo de simetría de borde y el grupo de simetría de cara, aunque los cuatro grupos son isomorfos en este caso. Suponiendo que solo nos interesan las rotaciones, el grupo de simetría del tetraedro regular consiste en el movimiento de identidad, ocho rotaciones de cualquiera$120^\circ$o$240^\circ$sobre los cuatro ejes que unen una esquina al centro de la cara opuesta, y tres$180^\circ$rotaciones alrededor de los ejes que unen los centros de las aristas opuestas. Para describir completamente al grupo, se deben establecer las reglas para componer estas mociones. Tenga en cuenta que un conjunto de movimientos forma un grupo en el sentido algebraico cuando está cerrado bajo composición de movimientos y contiene los inversos de todos los movimientos.

Uno típicamente da nombres a cada moción. Etiqueta los vértices del tetraedro con los números$1$a través de$4$, con$2$ $3$, y$4$en sentido antihorario visto desde el vértice$1$. podrías usar$r_1$significar un$120^\circ$rotación en el sentido de las agujas del reloj sobre el eje que pasa por el vértice$1$(visto desde arriba). Entonces el$240^\circ$la rotación sobre este eje sería$r_1^2$. Del mismo modo, podrías usar$f_1$Para el$180^\circ$rotación sobre el eje que pasa por el centro del borde$1$-$4$y el centro del borde$2$-$3$. Las relaciones$r_1^3=e$y$f_1^2=e$espera, donde$e$es el movimiento de identidad (ningún movimiento en absoluto). También$r_1f_1$(la operación de primero hacer$r_1$, luego haciendo$f_1$) es igual$r_2$(el$120^\circ$rotación en el sentido de las agujas del reloj sobre el eje que pasa por el vértice$2$, visto desde un punto de vista sobre el vértice$2$). Otros dos$120^\circ$rotaciones,$r_3$y$r_4$se definen de manera similar, al igual que otros dos$180^\circ$rotaciones,$f_2$, sobre el eje que une los centros de las aristas$2$-$4$y$1$-$3$, y$f_3$, sobre el eje que va de los centros de las aristas$3$-$4$y$1$-$2$. Por lo tanto, el grupo de simetría es el conjunto de movimientos

El grupo de simetría de las esquinas se obtendría escribiendo las permutaciones de los vértices que corresponden a cada uno de los movimientos enumerados anteriormente. Las permutaciones correspondientes a$r_1$,$f_1$, y$r_2$son$(23)(24)$,$(14)(23)$, y$(14)(13)$. El grupo de simetría y el grupo de simetría de las esquinas son claramente isomorfos. El grupo de simetría de las esquinas actúa sobre un conjunto de cuatro elementos, el conjunto$\{1,2,3,4\}$de etiquetas de vértice. El grupo de simetría, en cambio, actúa sobre el propio objeto geométrico.

Se puede definir el grupo de simetría de los bordes de manera similar etiquetando los bordes y determinando cómo cada uno de los movimientos permuta los bordes. Deja que los bordes$1$-$4$,$2$-$4$,$3$-$4$,$2$-$3$,$1$-$3$, y$1$-$2$ser etiquetado$a$,$b$,$c$,$x$,$y$, y$z$. Entonces$r_1$corresponde a la permutación$(az)(ay)(bx)(bc)$,$f_1$a la permutación$(by)(cz)$, y$r_2$a la permutación$(ac)(ay)(bx)(bz)$. El grupo de simetría de aristas actúa sobre un conjunto de seis elementos, el conjunto$\{a,b,c,x,y,z\}$de etiquetas de borde.

Lo mismo ocurre con el grupo de simetría facial, que actúa sobre el conjunto de cuatro elementos de etiquetas faciales. Si cada cara está etiquetada con la misma etiqueta que el vértice opuesto, el grupo de simetría de caras es idéntico al grupo de simetría de esquinas y ambos son idénticos al grupo alterno.$A_4$(que consta de todas las permutaciones pares) en el conjunto$\{1,2,3,4\}$.

Los cuatro grupos son, de hecho, isomorfos entre sí, lo que significa, por ejemplo, que si cada elemento en la tabla de multiplicar del grupo de simetría se reemplaza con el elemento correspondiente del grupo de simetría de esquina, el resultado es la tabla de multiplicar correcta. para el grupo de esquina-simetría. Esto plantea la pregunta: ¿el grupo de permutación asociado con cualquier conjunto de características geométricas del tetraedro será isomorfo al grupo de simetría? La respuesta es no, como muestra un ejemplo trivial: el grupo de simetría del cuerpo consiste solo en el movimiento de identidad ya que el tetraedro tiene solo una "faceta" tridimensional, que siempre se asigna a sí mismo. Un ejemplo más interesante proviene del conjunto de tres$180^\circ$ejes de rotación mencionados en relación con las rotaciones$f_1$,$f_2$, y$f_3$. Si estos ejes se llaman$I$,$J$, y$K$, podemos preguntarnos cómo se permutan entre sí bajo el$12$movimientos geométricos en el grupo de simetría. Puedes comprobar que los tres$180^\circ$las rotaciones, así como el movimiento de identidad, producen la permutación de identidad. las rotaciones$r_1$,$r_2$,$r_3$, y$r_4$todos producen la permutación$(IK)(IJ)$, mientras que todos sus cuadrados producen la permutación$(IJ)(IK)$. Estas son las permutaciones cíclicas de$I$,$J$, y$K$y por lo tanto el "$180^\circ$-grupo de simetría del eje" es isomorfo al grupo cíclico de orden$3$. Hay un homomorfismo del grupo de simetría del tetraedro a este grupo, pero no un isomorfismo.

Te dejaré a ti resolver el grupo de simetría y el grupo de simetría de esquina correspondiente para el triángulo equilátero. Suponiendo que solo se consideren rotaciones, este es un grupo con tres elementos. El grupo de simetría, el grupo de simetría de las esquinas y el grupo de simetría de los bordes son todos isomorfos en este caso, pero el grupo de simetría de las caras no lo es, ya que es el grupo que contiene solo la permutación de identidad.

En la página 558 de la quinta edición del libro:

Dejar$\Omega$Sea una figura geométrica. una simetría de$\Omega$es un movimiento (geométrico) o congruencia que trae la figura$\Omega$sobre sí mismo

Por lo tanto, el grupo de simetría de un triángulo equilátero es el grupo de simetrías que mapean el triángulo equilátero sobre sí mismo. Más adelante en el mismo párrafo:

Por lo tanto, concluimos que las simetrías de$\Omega$actuar como un grupo de permutación$G_C$en sus esquinas, un grupo de permutación$G_E$en sus bordes y, en el caso de que$\Omega$es tridimensional, un grupo de permutaciones$G_F$en sus caras. Como resultado, un conjunto de permutaciones que resulta de considerar todas las simetrías de una figura es automáticamente un grupo de permutaciones. Por lo tanto, tenemos un grupo de simetría de esquinas , un grupo de simetría de bordes , un grupo de simetría de caras , etc.

Por lo tanto, el grupo de simetría de las esquinas es el grupo de simetrías de las esquinas obtenido por la acción del grupo de simetría de$\Omega$en las esquinas

De su descripción, esto es lo que creo que quiere decir el autor:

Grupo simétrico (de orden 3): Todas las permutaciones posibles o 3 elementos. Por ejemplo, si tiene los elementos a, b y c, las permutaciones posibles son abc, acb, bac, bca, cab y cba. La notación estándar para este grupo es$S_3$.

referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group

"Grupo de simetría de esquinas" (también conocido como grupo diedro de un triángulo regular): todas las reflexiones y rotaciones del polígono (triángulo) con esquinas etiquetadas de forma única. El grupo diedro de un triángulo regular generalmente se conocería como el grupo diedro de orden 6, ya que hay 6 resultados distintos para cualquier combinación de rotación y reflexión sobre un eje de simetría. La notación estándar para este grupo es$D_3$.

referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group