¿La suma es realmente una función binaria?

Mi libro de texto de matemáticas de clase 12 dice que la suma es una función binaria. Pero tuve este experimento que causó una duda.

La suma se explica como una función binaria porque si sumas más de dos números tendrás que hacerlo en pares de dos. Ahora digamos que tienes 3 bolas azules, 7 bolas negras y 4 bolas verdes. Se le pregunta el número total. de bolas En lugar de hacer una suma binaria, ¿qué pasa si los mezclas todos en una bolsa y cuentas aleatoriamente cada bola? Entonces ya no será binario. ¿Cómo resolvemos este conflicto?

No hay conflicto. Simplemente toma la siguiente bola y la agrega a la primera: una operación binaria. Los colores no importan. Sólo queremos agregar.
Indique su definición de función binaria.
Puede hacer su enfoque alternativo porque la suma binaria es conmutativa y asociativa.
De una pregunta mía anterior, que desafortunadamente se eliminó, los matemáticos a menudo no piensan en la suma como una función estrictamente binaria. Se puede definir la suma como una función binaria para un sistema formal, aunque posiblemente se prefiera la definición recursiva de Wuestenfux de suma n-aria.
Estoy de acuerdo con su punto: es muy común pensar que la suma opera en una lista completa de números, en lugar de dos a la vez. El algoritmo habitual de lápiz y papel para sumar varios números los suma todos a la vez, no en pares.
El algoritmo ordinario de suma de columnas agrega números en pares: agrega los primeros dos dígitos en la primera columna, luego ese resultado y el siguiente dígito, luego ese resultado y el siguiente dígito, hasta que la columna esté completa, con el primer dígito del resultado general. grabado. El resto se transfiere y se repite el mismo proceso. Todo esto se hace hasta que todas las columnas estén completas. El uso de la suma dentro de cada columna sigue siendo binario incluso si el cerebro experimentado está realizando múltiples operaciones binarias extremadamente rápido.

Respuestas (3)

Elaborando un poco la respuesta de Wuestenfux, ciertamente podemos considerar la adición como un norte -operación aria para todos norte ≥ 2 . La única razón por la que no hablamos de eso es porque cualquier suma se puede descomponer en una secuencia de sumas binarias, básicamente por asociatividad.

Desde esta perspectiva, se debe fortalecer la asociatividad para

a + ( b + C ) = ( a + b ) + C = a + b + C ,
y algo similar para norte > 3 , para garantizar que el binario y norte Las definiciones arias concuerdan. Por ejemplo, la definición recursiva de Wuestenfux hace el trabajo.

En general, cualquier operación binaria asociativa razonable será la misma situación.

De hecho, puede ser considerado como un norte -operación aria para todos norte ≥ 0 . Dices que la suma de 0 términos es 0 y la suma de 1 el término es en sí mismo. Este es un ejemplo de una definición imparcial .
@OscarCunningham ¡Sí, por supuesto, tienes razón!

La adición se puede definir como una norte operación -aria de manera recursiva

  1. F 2 ( X , y ) = X + y

  2. F norte + 1 ( X 1 , … , X norte + 1 ) = F norte ( X 1 , … X norte ) + X norte + 1 , para norte ≥ 2 .

Entonces F norte ( X 1 , … , X norte ) = X 1 + … + X norte para cada norte ≥ 2 .

El problema es que está comparando una codificación física del concepto abstracto de suma con la descripción matemática de la misma.

Aquí hay un ejemplo que realmente arruinará su intuición de la operación binaria. Supón que te doy una canasta de pelotas, y yo mismo tengo una canasta con cierto número de pelotas.

Si le pido que agregue tres bolas en mi canasta, entonces, sin mirar dentro de mi canasta, simplemente puede arrojar bolas a mi canasta.

Pero, ¿y si pido multiplicar el número de bolas de mi cesta por tres? Entonces no puedes hacer esto a menos que tengas alguna forma de saber cuántas bolas hay en mi canasta.

Ahora, ¿significa esto que la multiplicación va más allá de una operación binaria (en sentido matemático)? Bueno no. Es solo que esta realización física de la suma viene con más propiedades que la descripción matemática de la misma.

La cuestión es que los objetos matemáticos y las descripciones de ellos no necesariamente tienen que ajustarse a nuestra intuición oa un modelo particular en la vida real.

No vamos del mundo físico a las matemáticas sino que tratamos de explicar las matemáticas como una cosa en sí misma usando la lógica. Esa es toda la idea de los sistemas axiomáticos y las pruebas. Un punto más es que esto también es un indicio de que la enseñanza de las matemáticas mediante la extrapolación de la intuición física de un pequeño conjunto de escenarios a una descripción matemática que funciona en cualquier lugar es problemática.

Estoy casi 99% seguro de que me enviarán al infierno de votos negativos, pero esta es una colina en la que estoy listo para recibir votos negativos.
Realmente no, en cambio, su enfoque es interesante (con algo de elegancia también)
¿La suma es realmente una función binaria?
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