¿Hay 'momentos de orden superior' en la física?

Debo comenzar diciendo que no sé nada sobre el método derivado que se muestra en este extracto. Probé algunos cálculos, pero ni siquiera parece dar el mismo resultado que la definición estándar, así que supongo que está calculando algo diferente de lo que llamamos "momentos" en la física moderna. De todos modos, a modo de explicación:

La palabra "momento" se usa para varios propósitos diferentes en física, por lo que puede ser un término un poco confuso porque debe saber qué significa el contexto. Pero todos los diversos significados de momento se derivan de su definición en matemáticas.

En matemáticas, un momento es una forma de caracterizar alguna distribución. Podría ser una distribución de probabilidad, una distribución de masa, una distribución de carga o algo similar; todo lo que necesitas es alguna función$f(x)$que define la densidad de la cantidad (masa/carga/probabilidad) en cuestión. En otras palabras,$\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x$es la cantidad de "cosas" entre$a$y$b$.

El$n$momento matemático de una distribución con función de densidad$f(x)$alrededor de un punto$c$se calcula mediante una fórmula muy simple:

(como un ligero abuso de notación, cuando$n = 0$el momento es independiente de$c$así que lo escribiré como$I^{(0)}$) Esto se generaliza a espacios de dimensiones superiores, pero luego el momento se convierte en un$n$-índice tensor:

En aplicaciones físicas, las definiciones utilizadas son un poco diferentes, pero en general un$n$El momento involucra la integral de algunos$n$ª potencia de posición multiplicada por la función de distribución$f(\mathbf{r})$. (Las diferencias antes mencionadas aparecen en la forma en que usa los diversos componentes de$\mathbf{r}$para calcular eso$n$th poder.)

Muchas medidas típicas utilizadas para describir sistemas físicos o distribuciones matemáticas se pueden representar como momentos. Por ejemplo:

• Si$f(x)$es una distribución de probabilidad 1D:

  • La constante de normalización (que es 1) es$I^{(0)}$
  • El valor medio es$\langle x\rangle = I^{(1)}(0)$
  • la varianza es$I^{(2)}(\langle x\rangle)$

• Si$f(\mathbf{r})$es una distribución de masa:

  • la masa total es$I^{(0)}$
  • el centro de masa es$I^{(1)}(0)$(de donde proviene el término "promedio ponderado")
  • El momento de inercia alrededor de cualquier punto.$\mathbf{c}$es un segundo momento

• Si$f(\mathbf{r})$es una distribución de carga:

  • La carga total, o momento monopolar, es$I^{(0)}$
  • El momento dipolar es$I^{(1)}(0)$
  • El momento cuadripolar es un segundo momento.
  • etcétera

Para distribuciones de carga, las cantidades$I^{(n)}(0),\ n=0,1,2,\ldots$(modificado con los términos adicionales requeridos) se denominan momentos multipolares eléctricos $Q^{(n)}$. Estas cantidades son de particular interés porque puedes expandir el potencial eléctrico de una distribución de carga arbitraria en términos que involucran momentos sucesivos:

En muchas situaciones,$r$es relativamente grande, por lo que es suficiente usar solo el primer término distinto de cero de esta serie en un cálculo. En cierto sentido, los momentos superiores incorporan características más detalladas de la distribución de carga, que se "desdibujan" y, por lo tanto, tienen poco efecto a grandes distancias.

Para el ejemplo que está viendo aquí, parece que Pearson está calculando los momentos de área en el$x$dimensión alrededor del origen - en otras palabras, la función de densidad$f(x)$es la función que se trazaría a lo largo de la parte superior de los rectángulos.

(Podría pensar en esto como calcular los momentos de masa de un recorte de cartón de la distribución binomial, asumiendo que el cartón tiene una densidad uniforme).

Puede conectar esto a la definición integral de un momento, aunque la expresión resultante es bastante complicada y, como dije, no parece dar los mismos resultados que el método derivado que usa Pearson. Así que creo que está calculando algo diferente.

Aquí hay un ejemplo de momentos más altos que son útiles:

En las colisiones de iones pesados ​​contamos el número de protones y antiprotones detectados durante cada colisión. También registramos el número neto de protones, que es simplemente la diferencia de los dos números anteriores. Reunimos estos datos en una aproximación de la distribución de probabilidad de ver un número neto de protones dado.

Calculamos los momentos centrales de orden primero a octavo de esta distribución y los usamos para calcular los cumulantes de orden primero a octavo. Las proporciones de estos cumulantes son un indicador de la presencia de plasma de quarks-gluones, ya que serían significativamente diferentes si los núcleos se estuvieran derritiendo. Para obtener una explicación más detallada, consulte https://arxiv.org/abs/1607.06602 .

El$n$El momento de una distribución es

Para qué valores físicos se deben usar$x$y$w$($\rho$) depende del momento que esté calculando. En el cálculo anterior, el peso parece ser una probabilidad medida y la distancia, la posición del contenedor.

Tenga en cuenta que el momento cero es solo la suma de los pesos (integral de la densidad), el primer momento es el tipo de cálculo que ve en el "momento de inercia" si dejamos$x$ser "la distancia desde el centro" .

Podemos decir que los momentos de orden superior representan la forma de la distribución: la media del segundo momento representa cuánto es la dispersión, donde esto se puede ver mediante una dispersión puntual. el tercero representa el sesgo/asimetría, el cuarto cuánto es la planitud de la curva. Otros momentos continúan así pero hasta donde yo sé es inexpresable en el lenguaje o puedes considerar los primeros momentos del cuadrado de la variable, el cubo... En general, estos órdenes superiores representan los detalles de la variable: Yendo a orden superior, representa los datos en una vista cada vez más detallada. Esta observación tiene implicaciones prácticas: si tiene una muestra de una cantidad finita de datos, puede calcular los momentos hasta un orden: calcular el orden superior es inútil y genera un error porque no tiene suficientes datos. O mejor dicho, la varianza del momento considerado en grande. Si está interesado, mi libro (tesis doctoral) "Construcción de señales aleatorias a partir de sus momentos de orden superior",Ismail Chamseddine, 1997 .