Integral doble con r⃗ r→\vec{r} y r⃗ −r⃗ ′r→−r→′\vec{r}-\vec{r}' como variables independientes

Question

Integral doble con r⃗ r→\vec{r} y r⃗ −r⃗ ′r→−r→′\vec{r}-\vec{r}' como variables independientes

Jabón

He visto integrales dobles del tipo

\int d^{3} r d^{3} r^{'} F (\vec{r}) gramo (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})

$\int d^3r\,d^3r'\, f(\vec{r})g(\vec{r}-\vec{r}')$

se resuelve haciendo la sustitución $\vec{u}=\vec{r}-\vec{r}'$ :

\int d^{3} r d^{3} tu F (\vec{r}) gramo (\vec{tu}) = - (\int d^{3} r F (\vec{r})) (\int d^{3} tu gramo (\vec{tu}))

$\int d^3r\,d^3u \,\, f(\vec{r})g(\vec{u})=-\left (\int d^3r \,\, f(\vec{r}) \,\right)\,\,\left( \int d^3u \,\,g(\vec{u})\,\right)$

No entiendo cómo se puede considerar $\vec{r}$ y $\vec{u}$ como variables independientes (que se hace en este último signo igual).

Nota: publico esto aquí porque lo he visto hecho por físicos.

qmecanico

¿ Sería Matemáticas un mejor hogar para esta pregunta?

Jabón

¡Tal vez! Sin embargo, solo he visto esto hecho por físicos: es por eso que lo publiqué aquí.

jahan claes

¿Has intentado calcular el valor del jacobiano para este cambio de coordenadas?

Respuestas (2)

Integral doble con r⃗ r→\vec{r} y r⃗ −r⃗ ′r→−r→′\vec{r}-\vec{r}' como variables independientes

¡Tal vez! Sin embargo, solo he visto esto hecho por físicos: es por eso que lo publiqué aquí.
¿Has intentado calcular el valor del jacobiano para este cambio de coordenadas?

usuario130529 · Answer 1

Esta es la integral de la convolución. $f*g$ de funciones $f$ y $g$ . Tienes:

\begin{aligned} \int d^{3} r^{'} d^{3} r F (\vec{r}) gramo (\vec{r} - {\vec{r}}^{'}) & = \int d^{3} r^{'} (\int d^{3} r F (\vec{r}) gramo (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})) \\ \overset{Fubini}{=} \int d^{3} r (\int d^{3} r^{'} F (\vec{r}) gramo (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})) \\ \overset{F (r) no depende de r^{'}}{=} \int d^{3} r F (\vec{r}) (\int d^{3} r^{'} gramo (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})) \\ \overset{\vec{tu} = \vec{r} - {\vec{r}}^{'}}{=} \int d^{3} r F (\vec{r}) (\int d^{3} tu gramo (\vec{tu})) \\ = (\int d^{3} r F (\vec{r})) (\int d^{3} tu gramo (\vec{tu})) . \end{aligned}

$\begin{align} \int d^3r'\,d^3r\, f(\vec{r})g(\vec{r}-\vec{r}') &= \int d^3r'\,\left(\int d^3r\, f(\vec{r})g(\vec{r}-\vec{r}') \right)\\ &\overset{\text{Fubini}}= \int d^3r\,\left(\int d^3r'\, f(\vec{r})g(\vec{r}-\vec{r}') \right)\\ &\overset{f(r) \text{ does not depend on }r'}= \int d^3r\,f(\vec{r})\left(\int d^3r'\, g(\vec{r}-\vec{r}') \right)\\ &\overset{\vec{u}=\vec{r}-\vec{r}'}= \int d^3r\,f(\vec{r})\left(\int d^3u\, g(\vec{u}) \right)\\ &= \left(\int d^3r\,f(\vec{r}) \right) \left(\int d^3u\, g(\vec{u}) \right).\\ \end{align}$ Notas:

la integral interna de las líneas 2, 3, 4 se calcula para fijo $r$ ,
como lo menciona kryomaxim, el cambio de variable con fijo $r$ en la cuarta línea proporciona una integral interna independiente de $r$ porque la integracion wrt $r'$ (y $u$ ) se realiza en todo el espacio,
no hay signo menos en el cambio de variable $\vec{u}=\vec{r}-\vec{r}'$ porque $d^3u = |\text{Jacobian}|d^3r'$ (para $x'=-x$ , piensa también en $\int_{\mathbb{R}} dxf(x)=\int_{\mathbb{R}} dx'f(-x')$ que es una propiedad de la integral de Lebesgue, para comparar con la integral de Riemann donde $\int_{-\infty}^{+\infty} dxf(x)=-\int_{+\infty}^{-\infty} dx'f(-x')=\int_{-\infty}^{+\infty} dx'f(-x')$ ).

Tal vez estoy malinterpretando lo que $d^3\bar r$ significa (o algo completamente diferente), pero claramente hay algo mal en su razonamiento. Toma el caso simple $f(q) = g(q) = q$ . Entonces, reemplazando $d^3 q$ con $dq$ sin pérdida de generalidad (espero), es sencillo deducir que $\int \int F (τ) gramo (t - τ) d t d τ = C t + \frac{t^{2} τ^{2}}{4} - \frac{t τ^{3}}{3}$ $\int \int f(\tau)g(t - \tau) dt d\tau = C t + \frac{t^2\tau^2}4 - \frac{t\tau^3}3$ mientras $(\int F (τ) d τ) (\int gramo (t - τ) d t) = \frac{t^{3} τ}{2} - \frac{t^{2} τ^{2}}{4} - \frac{C_{1}}{2} τ^{2} + C_{1} t τ + \frac{C_{2}}{2} t^{2} + C_{1} C_{2}$ $\left(\int f(\tau)d\tau\right)\left(\int g(t - \tau)dt\right) = \frac{t^3\tau}2 - \frac{t^2\tau^2}4 - \frac{C_1}2\tau^2 + C_1t\tau + \frac{C_2}2 t^2 + C_1C_2$ Entonces, los dos son bastante diferentes.
@Rody Oldenhuis: tus integrales no existen, $q$ no es integrable en $\mathbb{R}$ . Recuerde que el resultado es válido para integrales en todo el espacio $\mathbb{R}^n$ . Además, tus integrales, si existieran, solo podrían ser constantes (excepto la última), no dependiendo de $t$ ni $\tau$ , estás confundiendo entre integral y primitivo. POR CIERTO, $d^3r$ es el volumen elemental $dx \, dy \, dz$ en $\mathbb{R}^3$ .
Ahora veo el problema. Yo estaba haciendo una integración indefinida mientras tú hacías una integración incorrecta . El OP no lo dijo explícitamente, pero en el contexto de la convolución, eso sería lo más sensato. Y en ese caso, tienes razón, porque el teorema de Fubini no se cumple si cualquiera de las integrales no es finita.
@Rody Oldenhuis: de acuerdo. El OP debería haberlo declarado explícitamente, ya que es confuso.

kryomaxim · Answer 2

Inicialmente, $r'$ y $r$ son variables independientes. Después de la sustitución, $u$ es independiente de la otra variable $r$ , porque $u$ es la variable $r'$ , pero desplazado por un valor $r$ .

En general, esta fórmula es cierta si los límites de integración se establecen desde $- \infty$ a $\infty$ en cada dirección. Las integrales sobre una región infinita son invariantes de traslación, por lo tanto, el cambio por $r$ marcas $u$ sigue siendo una variable independiente.

Si quieres saber más matemáticamente puedes buscar "Teorema de Fubini".

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