Integración mediante elementos de superficie y volumen

En el ejemplo 2B, las rebanadas infinitesimales no son cuboides rectangulares, sino prims: sus alturas son$H$y sus bases son triángulos isósceles con catetos de longitud$R$y ángulos en el ápice siendo$d\theta$. Eso significa que el volumen de cada elemento es$\frac12HR^2d\theta$, no$HR^2 d\theta$. Eso le dará el resultado correcto.

En 4B, los infinitesimales son discos con ancho constante, pero su ancho es$-dz = R\sin\theta d\theta$, No solo$Rd\theta$- eso es lo que hace que obtengas una respuesta incorrecta.

En general, debe tener cuidado con la forma que tendrán los elementos infinitesimales y no asumir que su volumen/superficie está dado por la fórmula más simple posible. Si divide su figura de una manera que dificulta calcular el volumen de un elemento infinitesimal, entonces este método particular de dividir la figura puede no ser muy útil. Sin embargo, si calculas correctamente el volumen/área de cada elemento infinitesimal, el resultado debería ser el mismo sin importar cómo dividas la figura. Si obtiene un resultado incorrecto, lo más probable es que haya calculado incorrectamente el volumen/área del elemento infinitesimal.

Si quiere asegurarse de que está calculando bien, es mejor comenzar siempre con la parametrización completa de la figura, escribir el área/volumen como una integral sobre varias variables y luego integrarlas una por una. Las fórmulas generales son:

Si la superficie está parametrizada por$\vec{r} = \vec r(u,v))$entonces puedes usar una de dos fórmulas equivalentes:

$$dS = \left|\frac{\partial\vec r}{\partial u} \times \frac{\partial\vec r}{\partial v}\right| du dv$$ o $$dS = \sqrt{\left|\det\begin{bmatrix}\frac{\partial\vec r}{\partial u}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial u}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial v} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial v}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial v}\end{bmatrix}\right|} du dv$$ (la segunda fórmula, aunque más complicada, funciona para superficies incrustadas en un espacio de cualquier dimensión). para el volumen parametrizado por$\vec{r} = \vec{r}(u,v,w) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))$tenemos $$dV = \left|\det\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{bmatrix}\right| du dv dw$$ o $$dV = \sqrt{\left|\det\begin{bmatrix}\frac{\partial\vec r}{\partial u}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial u}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial v} & \frac{\partial\vec r}{\partial u}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial w}\\ \frac{\partial\vec r}{\partial v}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial v}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial v} & \frac{\partial\vec r}{\partial v}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial w} \\\frac{\partial\vec r}{\partial w}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial w}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial v} & \frac{\partial\vec r}{\partial w}\cdot \frac{\partial\vec r}{\partial w}\end{bmatrix}\right|} du dv dw$$

Para ver cómo funciona, consideremos sus ejemplos.

Ejemplo 1: La superficie de un cilindro se puede parametrizar por coordenadas$(z,\theta)$como$\vec r(\theta,z) = (R\cos\theta, R\sin\theta, z)$. El rango de los parámetros es$\theta\in[0,2\pi]$,$z\in[0,H]$. El área infinitezimal, calculada a partir de una de las dos fórmulas anteriores, resulta ser$dS = Rd\theta dz$

Eso significa que el área completa está dada por la fórmula

$$S = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^H dz \,R$$ Este es un caso simple y puede elegir si desea integrarlo$z$o arriba$\theta$. Si primero integra sobre$\theta$, llegas al caso 1A, si primero integras sobre$z$llegas al caso 1B.

Ejemplo 2: El cilindro lleno es parametrizado por$\vec r(\rho,\theta,z) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z)$con$\rho\in[0,R]$,$\theta\in[0,2\pi]$,$z\in[0,H]$. El volumen del elemento infinitesimal de las fórmulas anteriores se puede calcular para ser$dV = \rho d\rho d\theta dz$. Por lo tanto, el volumen completo es

$$V=\int_0^R d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^H dz\, \rho$$ Si te integras$\theta$y$z$primero, obtienes el caso 2A. Si te integras$\rho$y$z$primero, obtienes la fórmula correcta para el caso 2B: $$V=\int_0^{2\pi} d\theta \frac12 HR^2$$ donde factor$\frac12$proviene de la integral sobre$\rho$.

Ejemplo 3: La esfera se puede parametrizar mediante coordenadas esféricas$\theta$y$\phi$,$\vec r(\theta,\varphi) = (R\sin\theta\cos\varphi, R\sin\theta\sin\varphi,R\cos\theta)$con$\theta\in[0,\pi]$,$\varphi\in[0,2\pi]$. El elemento de superficie resulta ser$dS = R^2\sin\theta d\theta d\varphi$. Eso da el área completa para ser

$$S = \int_0^{\pi}d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi R^2\sin\theta$$ Si te integras$\varphi$primero, obtienes la integral que has calculado. También es posible integrar más$\theta$fórmula de primera obtención$S = \int_0^{2\pi} d\varphi \,2R^2$.

Ejemplo 4: El balón lleno tiene la parametrización$\vec r(r,\theta,\varphi) = (r\sin\theta\cos\varphi, r\sin\phi\theta\varphi,r\cos\theta)$con$r\in[0,R]$,$\theta\in[0,\pi]$,$\varphi\in[0,2\pi]$. El elemento de volumen es$dV = r^2\sin\theta drd\theta d\varphi$, y el volumen completo es

$$V = \int_0^R dr \int_0^{\pi}d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi r^2\sin\theta$$ Si te integras$\varphi$y$\phi$primero (calculando efectivamente el área de la esfera del ejemplo 3), obtienes el caso 4A. También puede integrar sobre$r$y$\varphi$primero, lo que te daría la fórmula$V = \int_0^{\pi} d\theta \frac{2\pi}3 R^3 \sin\theta$.

Para obtener el caso 4B, se necesita una parametrización diferente de la pelota, una que permita dividirla en rebanadas; eso significa que una de las coordenadas debe ser$z$. Los otros dos pueden ser$\rho$y$\varphi$, no importará al final, ya que serán los primeros en integrarse. La parametrización es$\vec{r} = (\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)$con$z \in[-R,R]$,$\phi\in[0,2\pi]$,$\rho\in[0,\sqrt{R^2-z^2}]$,$dV = \rho d\rho d\varphi dz$y el volumen completo siendo

$$V = \int_{-R}^R dz \int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}d\rho \int_0^{2\pi} d\varphi \rho$$ Después de integrar más$\rho$y$\varphi$obtenemos $$V = \int_{-R}^R dz \pi(R^2-z^2)$$ que después de la sustitución$z=R\cos\theta$,$dz=-R\sin\theta d\theta$da la fórmula correcta para el caso 4B $$V = \int_0^\pi d\theta \pi R^3 \sin^3\theta$$

En realidad, todo esto es el tema de la integración en variedades, y como referencia, debería echar un vistazo a Cálculo en variedades de Spivak. Lo que estás haciendo es el caso simple, bidimensional y tridimensional de lo que realmente está pasando en dimensiones superiores (pero las ideas que estás usando son realmente poderosas, así que no las descartes). En la configuración general, uno puede preguntar: dada una suave$k$-variedad compacta dimensional$M$(o múltiple con límite) dentro$\Bbb{R}^n$, cuál es el$k$-volumen dimensional de$M$? Entonces, para dar una respuesta general, uno tendría que discutir la integración en variedades.

Si puede parametrizar una porción de una variedad, entonces es posible dar una fórmula explícita en términos de esa parametrización. Entonces, aquí está la configuración general: Deje$M$ser un compacto$k$- subvariedad orientada suave dimensional (con o sin límite) de$\Bbb{R}^n$(así que es como un "buen"$k$-objeto dimensional sentado dentro$\Bbb{R}^n$, con algunas condiciones de regularidad). Dejar$W \subset \Bbb{R}^k$estar abierto, y dejar$\alpha:W \to M \subset \Bbb{R}^n$ser un$C^1$, mapa inyectivo que preserva la orientación, tal que para cada$x \in W$,$\alpha'(x)$es un$n \times k$matriz con rango completo. También, deja$d^kV$ser el ($k$-dimensional) elemento de volumen de$M$. Entonces, para cualquier función continua$f: M \to \Bbb{R}$, tenemos que (asumiendo que existen todas las integrales)

$$\begin{align} \int_{\alpha(W)}f\, d^kV &= \int_W f \circ \alpha \cdot \sqrt{\det(g)} \tag{$*$} \\ & \equiv \int_W f (\alpha(x) )\cdot \sqrt{\det(g(x))} \, d^kx \end{align}$$ dónde$\equiv$significa que es solo una notación diferente para la misma cosa,$d^kx = dx_1 \cdots dx_k$, y$g$es el$k \times k$matriz cuya$ij$entrada ($1 \leq i,j \leq k$) viene dada por el producto interior $$\begin{equation} g_{ij} = \left\langle \dfrac{\partial \alpha}{\partial x_i}, \dfrac{\partial \alpha}{\partial x_j} \right\rangle \end{equation}$$

En la ecuación integral anterior, LHS es una integral sobre un subconjunto de una variedad$M$, mientras que la RHS es una típica integral de Riemann multidimensional en$\Bbb{R}^k$, que podemos reducir a$k$integrales unidimensionales usando el teorema de Fubini.

Dijiste que eres estudiante de física, así que mucho de esto puede parecer extraño. Pero en la práctica, no es tan malo; es realmente un proceso mecánico, una vez que sabes cuáles son los objetos. En este momento, no se deje atrapar por los tecnicismos; entender cómo usar la fórmula. Posteriormente, puede leer cualquier libro que trate sobre integración en variedades, para aprender adecuadamente el tema.

1.) Volumen de un cilindro

Consideremos primero la cuestión de calcular el volumen de un cilindro de altura$H$y radio$R$. llama a este cilindro$M$. En este caso, definimos$W = [0,R] \times [0, 2\pi] \times [0,H]$y definir$\alpha : W \to \Bbb{R}^3$por

$$\begin{equation} \alpha(r,\phi,z) = \begin{pmatrix} r \cos \phi \\ r \sin \phi \\ z \end{pmatrix} \end{equation}$$ (es decir$\alpha$es la parametrización de coordenadas cilíndricas del cilindro$M$ $\ddot{\smile}$). Tenga en cuenta que$M = \alpha[W]$(es decir, la imagen del conjunto$W$debajo del mapa$\alpha$). Entonces, ahora si queremos encontrar el volumen del cilindro$M$, nosotros elegimos$f$ser la función constante$1$, porque el volumen a menudo se define como$\int_M 1 \, dV$. Ahora, todo lo que queda es calcular la matriz$g$y la raíz cuadrada de su determinante. Puedes verificar que $$\begin{equation} g(r,\phi,z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ Entonces, la raíz cuadrada del determinante es$\sqrt{\det(g(r,\phi,z))} = r$. Entonces tenemos $$\begin{align} \text{vol}(M) &= \int_W (1 \circ \alpha)(r,\phi,z) \cdot r \, \, dr \, d\phi \, dz \tag{by ($*$)} \\ &= \int_W 1 \cdot r \, dr \, d \phi \, dz \\ &= \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^H r \, dz \, d\phi \, dr \tag{by Fubini's theorem} \\ &= \pi R^2 H, \end{align}$$ como se esperaba. Por supuesto, todo esto puede parecer maquinaria pesada para la "simple" tarea de encontrar el volumen de un cilindro, pero funciona en configuraciones muy generales (si tiene suficiente regularidad para que existan todas las integrales, etc... que generalmente en cuestiones básicas de física no debería ser un problema).

En el ejemplo anterior,$M$estaba el cilindro sólido en$\Bbb{R}^3$, por lo que era un objeto tridimensional ubicado dentro de un espacio tridimensional, y calculamos su volumen (tridimensional). es decir, tuvimos$k=n=3$

2.) Área de superficie de una esfera

Dejar$R>0$, y deja$M = \{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 = R^2\}$Sea la esfera centrada en el origen, de radio$R$. (Por cierto, el área de la superficie es lo que podríamos llamar$2$-volumen dimensional, y es costumbre denotar$d^2V$por$dA$). Entonces, en este caso, tenemos$k=2$, mientras$n=3$. El poder de la fórmula$(*)$, es que funciona en todos los casos, independientemente de si$k<n$o$k=n$.

Para calcular el área de la superficie, seguimos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior. Dejar$W = [0,\pi] \times [0,2\pi]$y definir$\alpha : W \to \Bbb{R}^3$por

$$\begin{equation} \alpha(\theta, \phi) = \begin{pmatrix} R \sin \theta \cos \phi \\ R \sin \theta \sin \phi \\ R \cos \theta \end{pmatrix} \end{equation}$$ Entonces$M = \alpha[W]$. En este ejemplo, puede calcular por sí mismo que la matriz$g$es dado por $$\begin{equation} g(\theta, \phi) = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} \end{equation}$$ Por lo tanto, tenemos que$\sqrt{\det g(\theta,\phi)} = R^2 \sin \theta$. Entonces tenemos $$\begin{align} \text{surface area}(M) &= \int_{M} 1 \, dA \\ &= \int_{W} (1 \circ \alpha)(\theta,\phi) \cdot (R^2 \sin \theta) \, d \theta \, d\phi \tag{by ($*$)} \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} R^2 \sin \theta \, d \theta \, d\phi \tag{Fubini's theorem}\\ &= 4\pi R^2 \end{align}$$

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Estos dos ejemplos fueron bastante fáciles, pero en general lo más difícil será encontrar la parametrización$\alpha: W \to M \subset \Bbb{R}^n$. Después de averiguarlo correctamente, el resto es simplemente girar la manivela: calcular las derivadas parciales de$\alpha$, tome sus productos internos (productos punto) para calcular la matriz$g$, toma el determinante y luego usa la fórmula$(*)$. Por último, utilice el teorema de Fubini para reducir la$k$-integral dimensional$\int_W (\cdots)$en$\Bbb{R}^k$en$k$integrales unidimensionales.

Ahora, la pregunta que quizás te estés haciendo es ¿cómo se puede probar$(*)$? Si sigue el libro de Spivak, entonces esa ecuación se puede probar desentrañando las definiciones del elemento de volumen y cómo se definió la integración en variedades. Esa fórmula se sigue bastante de las definiciones de Spivak, porque todas las ideas clave ya han sido "codificadas" dentro de las definiciones, por lo que todo lo que le queda al lector por hacer es extraer esa información.

Pero desde un punto de vista heurístico muy tosco, hace uso del teorema del cambio de variables multivariable. En términos generales, si tienes un rectángulo pequeño$R$adentro$W$(es decir, un rectángulo en su "espacio de parámetros") y fija un punto$x_R \in R$, entonces cuando bajo el mapeo$\alpha$, el volumen del rectángulo$R$se distorsiona en una cantidad que es aproximadamente proporcional al volumen de la$k$paralelepípedo dimensional atravesado por el$k$vectores

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \alpha}{\partial x_1}(x_R) \quad, \dots, \quad \dfrac{\partial \alpha}{\partial x_k}(x_R) \end{equation}$$ este$k$-el volumen dimensional es igual a$\sqrt{\det (g)}$.

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Lo siento si esta explicación de la fórmula$(*)$no fue muy satisfactorio; este es realmente un tema que requiere tiempo para explicar adecuadamente las definiciones y probar los teoremas relevantes, etc.