Momento de inercia del trapecio

Question

Momento de inercia del trapecio

Lúthien

Tengo una lámina trapezoidal y homogénea de masa m y vértices ABCD, en un plano xy. AB es la base menor, CD es la base mayor y AC es la altura, con AB=AC=L y CD=2L. Entonces, básicamente, tengo un trapezoide de ángulo recto, compuesto por un cuadrado de lado L y un triángulo isósceles rectángulo (la medida de los catetos también es L). Me piden encontrar el momento de inercia con respecto a un eje ortogonal a la lámina que pasa por el centro de masa. Mi maestro sugiere encontrar el momento de inercia con respecto a un eje z que pasa por D, y luego usar el teorema de Huygens-steiner usando la distancia entre D y COM.

Así que puse D en el origen y calculé:

I_{z z} = \int_{S} σ (X^{2} + y^{2}) d X d y

$\begin{equation} I_{zz}=\int_S{\sigma(x^2+y^2)dxdy} \end{equation}$ con

σ = 2 m / 3 L^{2}

$\sigma=2m/3L^2$

\int_{S} (X^{2} + y^{2}) d X d y = \int_{0}^{L} d X \int_{0}^{X} d y (X^{2} + y^{2}) + \int_{L}^{2 L} d X \int_{0}^{L} d y (X^{2} + y^{2}) = \frac{L^{4}}{3} + \frac{8 L^{4}}{3} = 3 L^{4}

$\begin{equation} \int_S{(x^2+y^2)dxdy}=\int_0^L{dx}\int_0^x{dy(x^2+y^2)}+\int_L^{2L}{dx}\int_0^L{dy(x^2+y^2)}=\frac{L^4}{3}+\frac{8L^4}{3}=3L^4 \end{equation}$ Entonces

I_{z z} = 2 metro L^{2}

$\begin{equation} I_{zz}=2mL^2 \end{equation}$ Pero mi maestro dice que "el momento de inercia con respecto a D es

J_{D} = 37 / 18 m L^{2}

$J_D=37/18mL^2$ ". ¿Qué estoy haciendo mal?

EDITAR: Tal vez no me expliqué correctamente. Estoy bastante seguro de que mis matemáticas son buenas, el mío no es un problema de matemáticas. Pero no estoy seguro de que esta sea la forma correcta de proceder. Mi libro siempre calcula el momento de inercia con respecto al centro de masa y utilizando los ejes principales de inercia (estoy estudiando en Landau). Entonces, no estoy seguro de poder calcular el momento de inercia con respecto a un punto aleatorio (y tres ejes aleatorios) y LUEGO usar el teorema de los ejes paralelos para "desplazar" mi momento de inercia al centro de masa. ¿Estoy procediendo bien?

floris

Me pregunto si tendrías más suerte con esta pregunta en math.stackexchange. Las preguntas de tarea "¿Qué tiene de malo esto?" se consideran fuera de tema en este sitio. Debo admitir que resolvería el problema de manera ligeramente diferente: encontrar el momento de inercia sobre X e Y por separado, luego usar el teorema del eje perpendicular y finalmente el teorema del eje paralelo. Convierte la integral doble en dos integrales simples. Pero tus matemáticas no se ven muy mal.

Lúthien

Edité mi pregunta, tratando de explicar mi problema de una mejor manera. Usted está sugiriendo encontrar los elementos

I_{x x}

$I_{xx}$ y

I_{y y}

$I_{yy}$ de mi tensor de inercia y luego aplicar

I_{z z} = I_{x x} + I_{y y}

$I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}$ ?

floris

La edición parece una pregunta diferente a la original que señala que la respuesta de sus maestros para I sobre D es diferente de la suya en una pequeña cantidad (1/18 ml ^ 2)

Lúthien

Sí, tienes razón, no señalé lo que más me molestaba, no las integrales (son muy simples y las revisé varias veces), sino el procedimiento. Debido a esa pequeña diferencia (1/18mL^2) pensé que estaba haciendo algo mal y que tal vez no podía calcular el momento de inercia usando un punto que no era el centro de masa.

Respuestas (1)

Momento de inercia del trapecio

Me pregunto si tendrías más suerte con esta pregunta en math.stackexchange. Las preguntas de tarea "¿Qué tiene de malo esto?" se consideran fuera de tema en este sitio. Debo admitir que resolvería el problema de manera ligeramente diferente: encontrar el momento de inercia sobre X e Y por separado, luego usar el teorema del eje perpendicular y finalmente el teorema del eje paralelo. Convierte la integral doble en dos integrales simples. Pero tus matemáticas no se ven muy mal.
Edité mi pregunta, tratando de explicar mi problema de una mejor manera. Usted está sugiriendo encontrar los elementos $I_{xx}$ y $I_{yy}$ de mi tensor de inercia y luego aplicar $I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}$ ?
La edición parece una pregunta diferente a la original que señala que la respuesta de sus maestros para I sobre D es diferente de la suya en una pequeña cantidad (1/18 ml ^ 2)
Sí, tienes razón, no señalé lo que más me molestaba, no las integrales (son muy simples y las revisé varias veces), sino el procedimiento. Debido a esa pequeña diferencia (1/18mL^2) pensé que estaba haciendo algo mal y que tal vez no podía calcular el momento de inercia usando un punto que no era el centro de masa.

floris · Answer 1

floris

El teorema del eje paralelo aún debería ser aplicable, pero tenga en cuenta que establece que el momento de inercia sobre un eje arbitrario siempre es mayor que el momento de inercia sobre el eje que pasa por el centro de masa. Entonces, en su caso, después de calcular el momento de inercia a través de D, debe restar mr ^ 2 a medida que mueve el eje hacia el centro de masa.

¿Interpreté correctamente tu pregunta?

Lúthien

Esa parte me queda clara. No entiendo cómo calcular correctamente el momento a través de D. Me parece que la orientación y el origen de los ejes xy no es importante para calcular el momento con respecto a un eje que pasa por D. Entonces, puedo elegir cualquier orientación. y origen quiero calcular ese momento de inercia? ¿Estoy haciendo lo correcto usando ese marco de referencia? Si, por ejemplo, cambio el origen de mi marco de referencia, ¿mi resultado seguirá siendo el mismo? (y supongo que debería serlo, si estoy procediendo bien)

Lúthien

Gracias por su esfuerzo y perdon si no me explico muy bien pero este no es mi idioma ya veces me cuesta organizar mis pensamientos en otro idioma para explicarme de la mejor manera!

floris

Sí, hay varias formas de proceder. En principio, puede elegir cualquier punto que desee (y el punto a través del cual es fácil calcular el momento de inercia

I_{e a s y}

$I_{easy}$ ), y luego determine la distancia

d

$d$ de allí al COM. La respuesta es entonces

I_{e a s y} - m d^{2}

$I_{easy}-md^2$ independientemente de cómo eligió el eje inicial.

Lúthien

Gracias, ahora me queda claro! Además, me hiciste notar que puedo verificar mi resultado usando

I_{z z} = I_{x x} + I_{y y}

$I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}$ , ¡gracias!

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