¿Qué significa la integral de posición con respecto al tiempo?

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}$tl; dr: Es cierto que "la velocidad es la derivada de la posición", pero "la aceleración es la derivada de la velocidad" no es cierto en el mismo sentido: la noción de velocidad es independiente de los cambios arbitrarios de coordenadas, pero la aceleración no lo es; tienes que equipar el espacio con una "estructura extra" antes de que puedas dar sentido a la aceleración (que se convierte en la "derivada covariante" de la velocidad). En este marco, "integral de posición" ni siquiera tiene significado matemático ; no hay manera de agregar posiciones.

Advertencia : no sé cómo expresar estas ideas sin ir más allá del plan de estudios normal de la escuela secundaria. Sin embargo, he tratado de eliminar los tecnicismos y el material más profundo como enlaces web.

Primero echemos un vistazo más de cerca a las premisas implícitas:

1. La velocidad es la derivada de la posición.

2. La aceleración es la derivada de la velocidad.

A pesar de lo que enseñamos en cálculo elemental, estas afirmaciones no están en pie de igualdad.

En cálculo elemental y física, nuestro modelo de espacio es$\Reals^{n}$, el espacio cartesiano cuyos puntos están etiquetados por orden$n$-tuplas de números reales. Nuestro modelo de tiempo es$\Reals$, y un intervalo$I$de números reales representa "un intervalo de tiempo". La posición de una partícula puntual durante un intervalo.$I$está modelado por un mapeo continuo (a menudo suave)$\Vec{x}:I \to \Reals^{n}$, que inconscientemente "descomponemos en funciones componentes":

Si la posición de nuestra partícula es continuamente diferenciable, definimos la velocidad como

Una inspección más cercana nos lleva a un punto de vista más cauteloso: las coordenadas cartesianas que hemos dado por sentadas no son intrínsecas al espacio; son una estructura adicional que impusimos . En ese espíritu, deberíamos preguntarnos si las definiciones anteriores dependen de la elección de las coordenadas.

Sorprendentemente, la velocidad "se transforma linealmente (es decir, como un tensor ) bajo el cambio de coordenadas". La aceleración no.

Para ver por qué, deja$\phi$representar una transformación de coordenadas y escribir$\Vec{y} = \phi(\Vec{x})$para la representación coordinada de la posición de nuestra partícula en las "nuevas" coordenadas. Por la regla de la cadena (multivariable) ,

Por el contrario, derivar (2b) y usar la regla del producto da

• Restringir el conjunto de cambios de coordenadas "permitidos", o

• Modifique nuestra noción de diferenciación para cancelar el segundo término.

Se puede considerar que el enfoque del cálculo y la física elemental fija la métrica euclidiana y permite únicamente cambios de coordenadas que preservan esta estructura adicional . Si$\phi$es un movimiento rígido (euclidiano), entonces la primera derivada$D\phi$es un campo constante de transformaciones lineales, y la segunda derivada se anula, por lo que (3b) se convierte en

El enfoque de la mecánica libre de coordenadas y de la relatividad general es fijar una métrica de Riemann y reemplazar la derivada por componentes con la diferenciación covariante . (Compare el segundo término de la derecha en (3b) con los segundos parciales de$\Psi$que aparece en la entrada de Wikipedia sobre los símbolos de Christoffel ).

Para resumir la discusión anterior:

• En cálculo y física elementales, la posición, la velocidad y la aceleración se modelan mediante$n$-tuplas de números reales, es decir, por puntos/vectores en$\Reals^{n}$.

• Cuando uno mira más de cerca, la posición de una partícula puntual es modelada por un punto en una superficie suave.$n$-colector$M$; una velocidad es un elemento del fibrado tangente de$M$; una aceleración es

  1. Un elemento del segundo haz tangente$T(TM)$(si no imponemos ninguna estructura adicional sobre$M$), o

  2. un elemento de$TM$(si usamos una conexión para identificar el subhaz horizontal de$T(TM)$con$TM$).

Con todo esto entendido, es difícil entender lo que significa "la integral de posición" en un sentido invariante de coordenadas. En términos generales, la integración es un proceso de suma, pero las posiciones (puntos de una variedad) no se pueden agregar de ninguna manera natural obvia. (Para restar puntos de una manera invariante en coordenadas, tuvimos que construir un espacio completamente nuevo , el paquete tangente$TM$.)

Además, uno esperaría ingenuamente que "la derivada de 'la integral de posición con respecto al tiempo' sea la posición (hasta una constante aditiva)". Si "la integral de posición" pudiera interpretarse como un camino en alguna variedad$P$, la derivada de este camino entonces "viviría" tanto en$TP$y en$M$; eso es imposible, ya que "la mayoría" de las variedades$M$no son el espacio total del haz tangente de otra variedad.

Si bien estas observaciones no son definitivas (puede que me esté volviendo poco imaginativo con la edad), sugieren fuertemente que

• Dentro del marco de la geometría diferencial, "la integral de posición con respecto al tiempo" no tiene significado matemático (mucho menos físico).

• Cualquier definición útil de "la integral de posición con respecto al tiempo" requerirá una reformulación fundamental de la noción de posición .

• Aparte de las interpretaciones dentro de la geometría euclidiana (que, como cuestión de opinión, sospecho que "no son particularmente interesantes"), la expresión

  $$\int \Vec{x}(t)\, dt = \left(\int x_{1}(t)\, dt, \int x_{2}(t)\, dt, \dots, \int x_{3}(t)\, dt\right)$$ no es significativo. (Contraste con "la integral de posición con respecto a la posición", de la que se puede extraer, por ejemplo, la teoría y las aplicaciones de las integrales de línea ).

Se llama Absement . De la página de Wikipedia ,

... absement (o absition) es una medida del desplazamiento sostenido de un objeto desde su posición inicial, es decir, una medida de qué tan lejos y por cuánto tiempo.

También hay nombres para más derivadas/integrales de posición:

-4 Abserk
-3 Abseleration
-2 Absity
-1 Absement [Absition]
 0 Displacement [Position]
 1 Velocity
 2 Acceleration
 3 Jerk
 4 Jounce
 etc

Supongamos que hay una palanca desde la que puedes mover$0$a$1$. Alquiler$f(t)$sea ​​la posición de esa palanca con el tiempo a medida que la mueve, puede pensar en la velocidad de la palanca$f'$, aceleración$f''$, etc. Ahora imagine que la palanca controla una compuerta. La compuerta se cierra en el$0$posición y se abre al mover la palanca hacia$1$. la integral$\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$mide la acumulación de agua que se ha derramado de la compuerta a lo largo del tiempo. Si deja la palanca en alguna posición fija, el agua fluirá a un ritmo constante. El absement en esta situación mide el agua acumulada, igual a$\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$, y es una medida de la posición sostenida de la palanca.

Diría que la integral es la suma ($\int$)de la posición ($x$) ponderado por la duración ($dt$) permaneció.