Hamiltoniano de estructura fina de la ecuación de Dirac

Puede encontrar la derivación completa en la referencia 1, utilizando la ecuación de Dirac. Es posible que desee complementarlo echando un vistazo a la ref.2. primero, donde la ecuación de Dirac se deriva de los principios de la electrodinámica cuántica (que es una teoría más fundamental), obteniendo así una imagen más completa.

Croquis: ref.2. toma el QED Lagrangiano, con operador$\hat\psi(x)$, y deriva la ecuación de Dirac para el campo$\psi_n(x):=\langle 0|\hat\psi(x)|n\rangle$, dónde$|n\rangle$es un conjunto completo de vectores de estado y$|0\rangle$es un estado de vacío. Dada la ecuación de Dirac para$\psi_n(x)$, ref.1. realiza la llamada transformación de Foldy-Wouthuysen , y luego toma el límite no relativista, obteniendo así la ecuación de Schrödinger corregida de primer orden. Con todo, las referencias 1 y 2 proporcionan una derivación de primeros principios del OP hamiltoniano después (hasta factores de$Z$, que son fáciles de reintroducir).

Referencias.

1. Itzykson y Zuber, QFT, §2-2-4.

2. Weinberg, QFT, Vol. I, §14.1.

O estás mezclando algo o el libro lo explica mal. Lo que usted llama el término de interacción de electrones (supongo) es el término habitual de Coulomb que describe la interacción entre el protón y el electrón,

$$H_{\text{Coulomb}} = -\frac{e^2}{4 \pi r}$$

El segundo término corresponde a la energía cinética del electrón (nótese que asumimos que el protón permanece estacionario). Sin embargo, como usted puede saber$E = mv^2/2$es una expresión clásica y la expresión más completa es la relativista (que se reduce a$E = mv^2/2$para$mc^2 >> pc$que es exactamente el primer orden en$p^2c^2/m^2$en la expansión de Taylor de E). Así que el tercer término que escribiste se llama corrección relativista de la energía cinética y no tiene nada que ver con las interacciones de los electrones.

Las correcciones que se denominan conjuntamente de estructura fina contienen, además de la corrección relativista, también el acoplamiento espín-órbita y el término de Darwin. Ambos corrigen de algún modo la suposición de que el protón permanece estacionario. Todo esto está bastante bien explicado en la página de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fine_structure

Podemos obtener el hamiltoniano de estructura fina a partir de un desarrollo de la relación entre el radio de Bohr$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}$y la longitud de onda de Compton$\lambda_0=\frac{\hbar}{mc}$, es decir, una expansión de$\alpha=\frac{\lambda_0}{a_0}$la constante de estructura fina. La ecuación de Dirac viene dada por:

$$\left(\begin{matrix} i\frac{mc}{\hbar}+\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

en el límite donde$\frac{mc}{\hbar}\gg \frac{e\phi}{\hbar c}$es conveniente tomar$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$, es decir, cambiando la energía cero. Entonces obtenemos:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & 2i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

entonces

$$\chi^{-}\sim-\frac{i\hbar}{2mc}\sigma^k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \chi^{+}\ll\chi^{+}$$

desde la dependencia de$\chi^{+}$encima$x^k$os dominado por la longitud$\frac{e\phi}{\hbar c}$. Esto significa que en primer orden podemos descartar el$\chi^{-}$spinor y simplemente trabajar con el$\chi^+$. Un poco de álgebra te dará

$$\left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2-\frac{e\hbar}{2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}+e\phi\right]\chi^{+}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\chi^{+}$$

tenga en cuenta que esta fórmula predice la relación giromagnética$g=2$.

Ahora, para obtener el siguiente pedido, no podemos simplemente soltar el$\chi^{-}$fuera de la ecuación. Para la expansión de primer orden usamos el hecho de que los espinores$\psi^{+}$y$\psi^{-}$están acoplados e igualmente importantes pero podemos desacoplarlos en este límite por la transformación unitaria$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$. Ahora para obtener el siguiente orden vamos a generalizar esta transformación unitaria a$\chi^{\pm}\equiv e^{iS}\psi^{\pm}$tal que los espinores$\chi^{+}$y$\chi^-$desacoplar hasta los términos del siguiente-siguiente-orden, es decir$\sim \alpha ^{k+1}$para ordenar$k$en$\alpha$expansión. Esta transformación unitaria se llama transformación de Foldy-Wouthuysen .

Siempre podemos organizar la ecuación de Dirac para que parezca una ecuación de Schrödinger, luego bajo la transformación de Foldy-Wouthuysen:

$$H\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)\rightarrow (e^{iS}He^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)=i\hbar(e^{iS}\frac{\partial}{\partial t}e^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)$$

Ahora,$H=\beta mc^2+\mathcal{T}+\mathcal{E}$, donde solo$\mathcal{T}$es el encargado de acoplar los espinores. El cálculo es un poco torpe, así que lo omitiré. La idea es encontrar un$S$por cada pedido en$\alpha$, por ejemplo: mantener sólo$\alpha^0$orden que recibimos

$$(e^{iS}He^{iS})=\beta mc^2 +\mathcal{T}+\mathcal{E}+i[S,\beta]mc^2+\mathcal{O}(\alpha mc^2)$$

y luego$S=-\frac{\beta\mathcal{T}}{2mc^2}$. Luego miramos los siguientes términos de orden$H'=\beta mc^2+\mathcal{T}'+\mathcal{E}'$hacer una nueva transformación de Foldy-Wouthuysen, obteniendo$H''=\beta mc^2+\mathcal{T}''+\mathcal{E}''$.

El hamiltoniano para el$\alpha^4mc^2$el orden viene dado por:

$$H'''=mc^2+\frac{p^2}{2m}+e\phi-\frac{p^4}{8m^2c^3}+\frac{e}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{d\phi}{dr}L\cdot S + \frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2\phi + \mathcal{O}(\alpha^5mc^2)$$

Resulta que la siguiente orden obtenida de la acción de Dirac no estará de acuerdo con el experimento ya que la siguiente orden entra en la escala de efectos QED ($\Delta E\sim\alpha^5 mc^2$) como el Lamb Shift .

Puedes ver todo esto y más aquí