Estructura hiperfina de hidrógeno: expresión general

El hamiltoniano para la interacción espín-espín es:

$$\Delta H_{SS} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2 r^3} \Big( \frac{1}{r^3} \big(3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big)+\frac{8 \pi}{3} (\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \delta^{(3)}( \vec{r} ) \Big)$$

Para los casos en que$l \neq 0$el término con la función delta se cancela, y la función de onda es proporcional a$r^l$Para pequeños$r$valores. Así, cuando$l>0$lo conseguimos$\psi(0)=0$, y entonces la corrección a la energía será:

$$\Delta E_{hf} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2} \left\langle \frac{1}{r^3} \big( ( \vec{l} \cdot \vec{s}_p )+3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big) \right\rangle$$

Este valor esperado fue calculado por Bethe y Salpeter, y el resultado es:

$$\Delta E_{hf} = \frac{m}{m_p} \alpha^4 mc^2 \frac{\gamma_p}{2 n^3} \left( \frac{ f(f+1)-j(j+1)-\frac{3}{4}}{j(j+1)(l+\frac{1}{2})} \right),$$

Este resultado coincide con el$l=0$caso, desde entonces$j=\frac{1}{2}$y el protón tiene spin 1/2 entonces$f=j \pm \frac{1}{2}$y la expresión anterior se puede simplificar al resultado que ya tiene para el$l=0$caso...

(La próxima vez, intente libros de QM más antiguos como este http://adsabs.harvard.edu/abs/1957qmot.book.....B )