¿Por qué se permite que las soluciones del estado S de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno sean ilimitadas?

En esta página de Wikipedia hay una declaración sobre el orbital 1S resuelto a partir de la ecuación de Dirac:

Tenga en cuenta que γ es un poco menos que 1 , por lo que la función superior es similar a una función exponencialmente decreciente de r excepto que en muy pequeño r teóricamente va al infinito (pero este comportamiento aparece en un valor de r menor que el radio de un protón!).

A modo de comparación, al resolver la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno, nos esforzamos explícitamente por evitar una solución que sea singular en el punto singular del potencial.

En la ecuación de Dirac, parece que la única justificación para permitir una solución ilimitada es física, no matemática. Parece muy inconsistente con lo que he visto al resolver varios problemas con la ecuación de Schrödinger.

Entonces, ¿por qué se permite que la solución de la ecuación de Dirac sea ilimitada? ¿Cuáles son las condiciones de contorno y de suavidad de la función de onda?

Sospecho que la ecuación de Dirac simplemente no admite estados S con función de onda limitada en el potencial de Coulomb. ¿Se puede demostrar entonces que si partimos de un paquete de ondas esféricamente simétricas con un cero en el centro, entonces su evolución en el campo de Coulomb conducirá inevitablemente a la formación de ondas similares? r γ − 1 ¿singularidad?

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Respuestas (2)

La idea de buscar siempre una solución no singular de una PDE cuando se resuelve un problema físico es errónea. Hay casos legítimos en los que una solución singular resuelve la ecuación y satisface todas las condiciones de contorno que se le impusieron originalmente, y también resuelve el problema físico.

De manera similar, la condición de integrabilidad cuadrada de la función de onda, mencionada en la respuesta de akhmeteli , no es suficiente para obtener, por ejemplo, un espectro de energía discreto de una partícula unida. Considere, por ejemplo, la función de Neumann esférica/cilíndrica como una solución de la ecuación radial para una partícula en una caja esférica/cilíndrica con potencial constante en su interior. Tal solución es integrable al cuadrado con el jacobiano correspondiente, pero claramente da como resultado un espectro de energía continuo si lo tomamos como una solución de tal problema.

Lo que debemos buscar es la solución que resuelva la PDE como una distribución . Es decir, debe tener en cuenta todas las singularidades de distribución como el delta de Dirac que surgen al aplicarle el operador diferencial. Como ejemplo, considere la función esférica de Neumann como una solución candidata para el problema mencionado anteriormente para el estado S. Tiene la siguiente expansión de serie:

y 0 ( r ) = − 1 r + r 2 − r 3 24 + ⋯ .

Es fácil ver que es normalizable cuando se integra en el cuadro de radio. R , desde el jacobiano r 2 cancela el 1 r 2 término en y 0 ( r ) 2 . Pero esta función tiene un problema serio: al aplicarle el operador de energía cinética se obtiene un delta de Dirac, que no se compensa con nada en la ecuación. Se vuelve obvio si consideras que 1 r es (hasta un factor constante) una solución de la ecuación de Poisson para la carga puntual. Otra forma de verlo es verificar que

límite ε → 0 ∫ R 3 ∇ 2 ( 1 r 2 + ε 2 ) d V ≠ 0 ,

recordando la definición de distribución delta de Dirac.

Para resumir: la premisa de la pregunta es falsa: no tratamos de evitar la solución singular de las ecuaciones de Schrödinger u otras ecuaciones similares; tratamos de asegurarnos de que nuestra solución resuelva nuestra ecuación en un sentido distribucional, sin dejar singularidades distributivas perdidas. Por lo tanto, está completamente bien permitir que las soluciones de la ecuación de Dirac sean ilimitadas, siempre que las resuelvan exactamente como distribuciones.

Diría que la solución de estado ligado debería tener una densidad de probabilidad integrable cerca del centro, condición que sí se cumple (un factor de r 2 aparece cuando integras en las coordenadas esféricas), aunque la función de onda (y la densidad de probabilidad) es singular. Esta condición se usa en la página 20 del artículo al que @LewisMiller se refiere en un comentario ("Ecuaciones de Schrödinger y Dirac para el átomo de hidrógeno y polinomios de Laguerre").

Esta condición no parece ser suficiente para el hidrógeno de Schrödinger: allí podemos tener una densidad de probabilidad integrable incluso con energías no propias, ya que la singularidad en el origen también se cancela fácilmente por r 2 peso. Este es el núcleo de mi pregunta: ¿qué es tan diferente en la ecuación de Dirac que esta condición de integrabilidad en lugar de regularidad es válida?
@Ruslan: ¿Podría dar una referencia?
No tengo una referencia, pero puedes ver cómo llegué al comentario. Primero, si resuelve la ecuación radial de Schrödinger, obtendrá dos términos con funciones hipergeométricas confluentes de Kummer y Tricomi: un término con 1 F 1 , que en general es ilimitado en el infinito, pero limitado en el origen, y otro con tu , que desaparece en el infinito, pero es ilimitado en el origen. en no entero norte el segundo término tiene expansión en serie con términos principales de C + a / r + b registro ⁡ r (véase, por ejemplo, W|A ), que son integrables.
@Ruslan: parece que considera algunas soluciones de la ecuación independiente del tiempo, por lo que tienen cierta energía definida. ¿Qué quiere decir con "energías no propias"?
Sí, considero la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Las energías no propias son aquellos coeficientes para el hamiltoniano radial, que están en el RHS de la ecuación en lugar de los valores propios, pero no son iguales a ningún valor propio real, es decir, si decimos H r F ( r ) = − norte − 2 F ( r ) , entonces considero el caso de norte ∉ norte . Este es el caso cuando F no satisface las condiciones de frontera de acotación .
@Ruslan: Entonces parece que esta es su propia definición de "energía no propia". Si tiene una solución normalizable (incluso si es ilimitada), ¿qué pasa con la energía relevante? (No sé, tal vez esa energía no sea negativa, pero eso no quiere decir que no sea física).
Suponga que inserta un número cuántico principal no entero en la fórmula de Bohr para las energías del hidrógeno. Obtendrá el valor que yo llamo "energía no propia". Pero todavía puedes encontrar una función de onda con esta energía, que, a pesar de ser singular en el origen, es normalizable.
@Ruslan: Entonces, ¿tal vez no haya nada malo con esta función de onda y esta energía? ¿Por qué es "no propio"?
¿Por qué se permite que las soluciones del estado S de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno sean ilimitadas?
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