Significado del Momento Angular en Mecánica Cuántica

Es un error decir que

En QM [...] sabemos que el electrón no irradia ondas EM porque en realidad no está dando vueltas alrededor del núcleo. A veces está aquí y allá.

En QM, la noción de "girar alrededor del núcleo" no tiene sentido, pero no es por eso que los electrones no irradian ondas EM. En cambio, un átomo en su estado fundamental no irradiará porque su espacio de estado simplemente no contiene ningún estado con menor energía.

En esencia, esto se debe al principio de incertidumbre. Si tiene un átomo de hidrógeno e intenta comprimir aún más la 'órbita del electrón', la incertidumbre de la posición del electrón disminuirá y esto provocará un aumento correspondiente en la incertidumbre del momento. Esta incertidumbre del impulso es proporcional a$p^2$y por tanto a la energía cinética. Esto significa que una disminución en el radio medio disminuirá la energía potencial pero aumentará la energía cinética mínima permitida, por lo que hay una compensación involucrada. Para el estado fundamental, esta compensación es óptima y no puede aumentar o disminuir la extensión espacial de la órbita sin aumentar la energía.

En otra pista, preguntas

¿Cómo puede tener un momento angular sin dar vueltas alrededor del núcleo y conservar su momento angular?

La respuesta a eso es que debes dejar de pensar en el electrón "dando vueltas" a cualquier cosa. La única cantidad física relevante es la función de onda del electrón. Se dice que el electrón tiene un momento angular orbital si su función de onda tiene cambios significativos de fase en las trayectorias que van alrededor del núcleo. Eso es todo.

Finalmente, en términos de

Qué correcto es asociar el momento angular clásico con el álgebra de momento angular en QM, que surgen en realidad de una simetría rotacional.

está subestimando severamente la medida en que surge el momento angular como el álgebra asociada con la simetría rotacional dentro de la física clásica. Efectivamente, el álgebra es exactamente igual; solo reemplazas los conmutadores$i[·,·]$con corchetes de Poisson$\{·,·\}$. El momento angular está tan relacionado con la simetría rotacional en la física clásica como en la mecánica cuántica.

El momento angular 'cuántico', en el límite clásico, se reduce al momento angular 'clásico'. En este sentido, son la misma cosa. Donde ocurre el momento angular clásico en el hamiltoniano clásico, lo reemplazamos con el momento angular cuántico en el hamiltoniano cuántico.

Por supuesto, 'QM being QM' trae consigo algunos aspectos nuevos. En este caso, existe una relación de incertidumbre entre el momento angular y la posición angular:

La interpretación de que el electrón está 'a veces aquí' y 'a veces allá' en un estado de$L$es, en el mejor de los casos, engañoso. Solo lo fuerza a un estado de posición angular definida mediante una medición de posición, hasta cuyo punto tiene que vivir con la indeterminación. Sin embargo, en el estado de posición, no tiene un momento angular determinado y no es estacionario; por lo tanto, evoluciona "esparciéndose".

Con respecto a las ondas EM, la razón por la que ninguno de estos estados irradia es porque no incluimos el campo electromagnético en el hamiltoniano.$H$del átomo de hidrógeno (excepto la fuerza de Coulomb). Cuando lo hacemos, vemos que hay transiciones entre varios estados de diferentes energías (es decir, diferentes estados propios de$H$)- esto es lo que conduce a los espectros de emisión , por ejemplo. La diferencia entre este y los modelos clásicos es que las transiciones solo pueden ocurrir entre estos estados discretos, y no a "órbitas" arbitrarias. Esto significa que no pueden ocurrir transiciones a energías por debajo del estado fundamental y que el sistema no perderá energía indefinidamente.

Las mediciones del momento angular se pueden realizar a través del movimiento del átomo en un gradiente de campo magnético (consulte el experimento de Stern-Gerlach y esta pregunta).

Mientras haya un origen para el operador de posición$\vec r$, y por lo tanto el momento angular$\vec L = \vec r \times \vec p$tiene un origen, es un poco simplista decir que hay un operador de momento angular. Lo que puedes es tres operadores$\hat L_x,$ $\hat L_y,$y$\hat L_z$cuyas formas están inspiradas en las formas de los tres componentes del vector clásico$\vec L = \vec r \times \vec p.$

Y realmente podrías hacer que a muchos más operadores también les guste$n_x\hat L_x+n_y\hat L_y+n_z\hat L_z$para cualquiera de los tres números reales$n_x,$ $n_y,$ $n_z$o$\hat L_x\hat L_x+\hat L_y\hat L_y+\hat L_z\hat L_z.$

Ahora, incluso podría darse el caso de que desee considerar el sistema del protón y el electrón, luego, para sus coordenadas generalizadas, seleccione el centro de masa para tres de las coordenadas y la posición del electrón en relación con el centro de masa como el final. tres. Entonces, el hamiltoniano emerge como un término de energía cinética de la ecuación de Schrödinger regular (con una masa reducida) en la posición relativa y un término de energía cinética para el centro de masa, con todo el potencial en términos de las coordenadas relativas. Cuando el hamiltoniano se expresa como una suma de términos que dependen solo de algunas coordenadas, esto conduce a una solución de separación natural de variables. Esto es solo para decir que si está considerando el protón, entonces el vector de posición para su momento angular podría ser para el centro de masa del sistema protón-electrón, como es el origen de la función de onda de hidrógeno estándar. Entonces$(\hat x,\hat y, \hat z)$(que a diferencia del triple$\hat L_x,$ $\hat L_y,$ $\hat L_z$, es un observable ya que las componentes conmutan) tiene como origen el centro de masa, no la ubicación del protón.

Ahora puedes ver otro problema. Los diversos operadores de momento angular no son los componentes vectoriales de un solo vector observable llamado momento angular. No se puede medir "el" vector de momento angular. Y cuando estás en un estado propio de$\hat{L^2}=\hat L_x\hat L_x+\hat L_y\hat L_y+\hat L_z\hat L_z$no tiene un valor definido de algún vector de momento angular, no hay un observable llamado vector de momento angular. Entonces no lo mides, y las partículas o incluso el sistema no lo tienen. Hay muchos operadores, pero no hay un vector observable para el momento angular como lo hay con la posición o el momento.

Así que ahora cuando dices eso$[\hat{L^2},\hat H]=0$no estás diciendo que hay algún vector que se conserva. Todo lo que está diciendo es que hay vectores propios comunes para ambos operadores, y dado que uno de ellos es el generador de traslaciones de tiempo, los vectores propios comunes solo cambian su fase en el tiempo. También puedes argumentar que$[\hat{L^2},\hat L_z]=0$y$[\hat{L}_z,\hat H]=0$entonces hay vectores propios comunes a los tres operadores. Pero todavía no hay vector.

No hay un vector que conservar. Esto puede sonar extraño, ya que$[\hat{L}_x,\hat H]=[\hat{L}_y,\hat H]=[\hat{L}_z,\hat H]=0$pero dado que los observables$\hat L_x,$ $\hat L_y,$y$\hat L_z$no conmutan entre sí, no tienen vectores propios comunes, por lo que no se pueden observar todos. No hay un vector que se conserve, aunque cualquier componente, si existiera como valor propio o vector propio, se conservaría. Simplemente no hay un vector de momento angular.

Y esto va más allá de cómo la posición y el impulso son operadores. Se pueden medir al menos los tres componentes de la posición. O, en cambio, se podrían observar los tres componentes del impulso. Así que el operador de vector completo$(\hat x, \hat y, \hat z)$tiene vectores propios comunes, por lo que se puede observar. Y así puedes preguntar si se conserva (no). Ni siquiera puedes preguntar sobre el momento angular.

Entonces, en la física clásica, tenía una posición y un momento, en la teoría cuántica reemplaza cada uno con operadores, pero al menos se puede observar todo el vector (un vector o el otro vector completo), por lo que puede discutir si es un eignvector de posición o impulso (pero no puede ser propio de ambos). Ahora con el momento angular, todo lo que tienes son cosas como$n_x\hat L_x+n_y\hat L_y+n_z\hat L_z$para cualquiera de los tres números reales$n_x,$ $n_y,$ $n_z$o$\hat L_x\hat L_x+\hat L_y\hat L_y+\hat L_z\hat L_z.$Pero no puede tener más de un componente porque no se conmutan entre sí. El compromiso entre posición y momento se ha convertido en un compromiso entre diferentes componentes del momento angular.

Entonces, no tiene tres componentes de un vector, por lo que si alguien le pregunta en qué plano orbita su supuesta partícula, estaría completamente perdido. porque la idea de que orbita hace que parezca que tiene tres componentes de un vector de momento angular. No es asi.

Creo que muchos libros de texto no hacen una buena distinción clara entre tener tres observables como$\hat L_x,$ $\hat L_y,$y$\hat L_z,$y tener un solo vector observable. si la posición y el impulso se introducen primero, es posible que tenga ideas equivocadas profunda e implícitamente en su cerebro antes de que finalmente llegue al momento angular. Lo mejor es arreglarlo.

Y pensar clásicamente también puede causarle problemas a menos que use una versión de la mecánica cuántica que sea compatible con cualquier bagaje clásico particular que quiera usar (lo cual es posible).

Para sus preguntas finales, no puede medir el vector de momento angular, ni siquiera teóricamente, y mucho menos experimentalmente. Y tiene la misma relación con la simetría que en la física clásica, y el álgebra es un álgebra de operadores, y el hecho de que no conmutan es exactamente el punto central de que no haya un vector de momento angular observable.