Solución del movimiento en el formalismo hamiltoniano

Question

amanecer

Tengo estas ecuaciones canónicas:

\dot{pag} = - α pag q

$\dot p = - \alpha pq$

\dot{q} = \frac{1}{2} α q^{2}

$\dot q =\frac{1}{2} \alpha q^2$

tengo que encontrar $q(t)$ y P $(t)$ , considerando las condiciones iniciales $p_0$ y $q_0$ .

Pensé en simplemente integrar con respecto al tiempo ambos miembros de las ecuaciones, pero algo debe estar mal porque las soluciones son:

q (t) = \frac{q_{0}}{1 - \frac{1}{2} α q_{0} (t - t_{0})}

$q(t)=\frac{q_0}{1- \frac{1}{2} \alpha q_0 (t-t_0)}$

pag (t) = {pag}_{0} [1 - \frac{1}{2} α q_{0} (t - t_{0})]

$p(t)=p_0[1-\frac{1}{2} \alpha q_0 (t-t_0)]$ y no se como conseguirlos...

joshfísica · Answer 1

El $q$ La ecuación es una EDO separable que se puede integrar directamente. Para hacer esto, tenga en cuenta que se puede escribir como

\frac{d q}{d t} = \frac{1}{2} α q^{2}

$\frac{dq}{dt} = \frac{1}{2}\alpha q^2$ de modo que multiplicando ambos lados por

d t

$dt$ e integrando desde

t_{0}

$t_0$ a

t

$t$ da

\frac{2}{α} \int_{q_{0}}^{q (t)} \frac{1}{q^{2}} d q = \int_{t_{0}}^{t} d t^{'}

$\frac{2}{\alpha}\int_{q_0}^{q(t)}\frac{1}{q^2}dq = \int_{t_0}^t dt'$ que después de la integración implica

- \frac{2}{α} [\frac{1}{q (t)} - \frac{1}{q_{0}}] = t - t_{0}

$-\frac{2}{\alpha}\left[\frac{1}{q(t)}-\frac{1}{q_0}\right] = t-t_0$ a continuación, resuelva para

q (t)

$q(t)$ . Reemplace esto en la primera ecuación, nuevamente separe las variables e integre para obtener

p (t)

$p(t)$ .

¡Espero que ayude!

Rocas de la física.

¡¡¡Muchas gracias!!! Acabo de empezar a estudiar ODE... ¿podrías escribir los pasos iniciales a seguir para llegar a la primera expresión que has escrito? ¡gracias de nuevo!
¡¡Gracias!! Tengo un problema (¡el último problema! :D): no he entendido qué tengo que volver a enchufar y dónde. si considero eso $H=E=\frac{1}{2}\alpha p q^2$ y eso $2E=\alpha p q^2=\alpha p_0 q_0^2$ y sustituyo q(t) en esta relación, obtengo el resultado correcto para p(t). Pero si lo vuelvo a enchufar $\dot p=..$ , obtengo un resultado erróneo (p(t) es una función logarítmica... ). ¿Qué ocurre?
Vuelva a conectar en su primera ecuación para $p$ . Cuando separa variables allí, la integral sobre $t$ también dará un registro, y los registros deberían desaparecer al final.
¡Hola joshfísica! :) He vuelto a hacer este ejercicio después de meses y he encontrado un aspecto que subestimé, por lo que he hecho una nueva pregunta . ¡muchas gracias!