Hallar la forma cerrada de una suma

$$\sum_{n=4}^x(x-n)$$ es una serie aritmética con la diferencia común $=1$

como el$r(0\le r\le -n-x+4)$término$(T_r)$es$x-n-r-4$

Entonces,$T_{r+1}-T_r=1$

siendo el primer término$x-4$y el ultimo ser$x-x=0$y el número de términos es$\displaystyle (x-4)-(x-x)+1=x-4+1$

Ahora, la suma de$N$término siendo el primero y el último término$a,l$es

$$\frac N2(a+l)$$

$$\sum_{n=4}^x{(x-n)}=\sum_{n=4}^x{x}-\sum_{n=4}^x{n}$$ $$=(x-3)x+(4+5+6+...+x)$$

$$=(x^2-3x)-\left(\frac{x(x+1)}{2}-6\right)$$ $$=x^2-3x-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+6$$ $$=\frac{x^2}{2}-\frac{7x}{2}+6$$

$$=\frac{1}{2}(x^2-7x+12)$$ $$=\frac{1}{2}(x-4)(x-3)$$