¿Cómo se calculó la forma cerrada de esta suma alterna de cuadrados?

De hecho, no es cierto que$\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)}{2}$por cada entero positivo$N$. Esto se verifica fácilmente ingresando cualquier valor$N\geq2$. Por supuesto que es cierto que$\sum_{n=1}^Nn=\frac{N(N+1)}{2}$. Y en verdad tienes razón cuando dices que

$$\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$$ Tenga en cuenta que si$N$es par, digamos$N=2M$, entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\sum_{n=1}^M\big((-1)^{2n}(2n-1)^2+(-1)^{2n+1}(2n)^2\big). \end{eqnarray*}$$ Por supuesto$(-1)^{2n}=1$para todos$n$, y de manera similar$(-1)^{2n+1}=-1$. Se sigue que para todos$n$tenemos $$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n}(2n-1)^2+(-1)^{2n+1}(2n)^2 &=&(2n-1)^2-(2n)^2\\ &=&(4n^2-4n+1)-4n^2\\ &=&1-4n. \end{eqnarray*}$$ Esto muestra que $$\sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2=\sum_{n=1}^M(1-4n).$$ A partir de aquí podemos usar el hecho de que$\sum_{n=1}^Mn=\frac{M(M+1)}{2}$para encontrar eso $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^M(1-4n)&=&M-4\sum_{n=1}^Mn\\ &=&M-4\cdot\frac{M(M+1)}{2}\\ &=&-2M^2-M\\ &=&-\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$ Eso prueba el caso donde$N$incluso. Si$N$es raro, digamos$N=2M+1$, entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\left(\sum_{n=1}^{2M}(-1)^{n+1}n^2\right)+N^2\\ &=&-\frac{(N-1)N}{2}+N^2\\ &=&\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$ Esto muestra que aunque el razonamiento es incorrecto, la conclusión sí se cumple; eso $$\sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2=-(-1)^N\frac{N(N+1)}{2}.$$

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Alternativamente, podrías notar que

$$1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-\ldots=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\ldots)-2(2^2+4^2+8^2+10^2+\ldots).$$ Así que a partir de su observación de que $$\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6},$$ podrías concluir que si$N$es par, digamos$N=2M$, entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\left(\sum_{n=1}^{2M}n^2\right)-2\left(\sum_{n=1}^M(2n)^2\right)\\ &=&\frac{2M(2M+1)(4M+1)}{6}-8\frac{M(M+1)(2M+1)}{6}\\ &=&\frac{-12M^2-6M}{6}\\ &=&-\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$

Sin analizar los casos pares e impares, también podemos construir la fórmula de forma cerrada de la siguiente manera:

Usando la fórmula$S_n-S_{n-1}=a_n$, dónde$a_n=(-1)^{n+1}n^2$y definir$S_n=(-1)^n\left(an^2+bn\right)$, entonces nosotros tenemos

$$\begin{align}S_n-S_{n-1}=(-1)^n(an^2+bn)+(-1)^{n}\left(a(n-1)^2+b(n-1)\right)=2a(-1)^nn^2-2n(a-b)+(a-b)=-(-1)^nn^2\end{align}$$

Esto implica,

$$a=b=-\frac 12$$

Esto significa,

$$\begin{align}\sum^{n}_{k=1} (-1)^{k+1}k^2 &=(-1)^n\left(-\frac 12n^2-\frac 12n\right)\\ &=\frac 12(-1)^{n+1}n(n+1).\end{align}$$

(Esta respuesta es una expansión de mi comentario. Muestra un método alternativo para calcular la suma).

Si$n$es par, entonces una manera fácil de calcular$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2$es considerar la diferencia entre cada par de términos:

$$\begin{align} &1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2 \\[4pt] =&(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\dots +((n-1)-n)((n-1)+n) \\[4pt] =&-1(1+2)-1(3+4)-\dots-1((n-1)+n) \\[4pt] =&-1(1+2+3+4+\dots+(n-1)+n) \\[4pt] =&-\frac{n(n+1)}{2} \end{align}$$ Si$n$es raro entonces$n-1$es par, por lo que podemos usar la fórmula anterior: $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-2)^2+(n-1)^2=-\frac{(n-1)n}{2} \, .$$ Luego, agregando$n^2$a ambos lados, encontramos que $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)}{2} \, .$$ Por lo tanto, independientemente de la paridad de$n$, $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}{2} \, .$$

Una intuición rápida:

Si$N$es extraño

$\displaystyle S = -\sum_{n=1}^{N} (-1)^{n} n^2 = 1 + (-2^2 + 3^2) + ... + (-1)^{N+1}(-(N-1)^2 + N^2)$

Por eso$\displaystyle S = 1 + 5 + 9 + ... + (2N-1)$

Hay$\frac {N+1}{2}$términos en la expresión anterior (que es un AP con una diferencia común de cuatro ).

De este modo$\displaystyle S_{N} = \frac {N+1}{2} \cdot \frac {2N-1+1}{2} = \frac {N(N+1)}{2}$

Del mismo modo cuando$N$es incluso entonces la suma hasta$N-1$es$\displaystyle S_{N-1} = \frac {(N-1)N}{2}$

Agregar$-N^2$para conseguir$\displaystyle S_{N}$cuando N es par:$\displaystyle S_{N} = \frac {(N-1)N}{2} - N^2 = -\frac {(N+1)N}{2}$

Espero que esto ayude, he editado los errores.