¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

Question

¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

forma cerrada
Matemáticas
función gamma
funciones especiales
secuencias y series

nathan mackenzie

La serie con la que estoy trabajando es

\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{z}{k}) (- 1)^{k} (1 - \frac{Γ (k, - registro norte)}{Γ (k)})

$\sum_{k=0}^\infty \binom{z}{k}(-1)^k ( 1-\frac{\Gamma(k,-\log n)}{\Gamma(k)} )$

con $z$ una variable compleja y $\Gamma(k, -\log n)$ la función gamma superior incompleta.

¿Se puede expresar esto en una forma cerrada (posiblemente involucrando funciones especiales)?

Como un poco de información extra, ya tengo una prueba del caso especial

\underset{z \to 0}{límite} z^{- 1} (- 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{z}{k}) (- 1)^{k} (1 - \frac{Γ (k, - registro norte))}{Γ (k)}) = - Γ (0, - registro norte) - π i - registro registro norte - γ

$\lim_{z \rightarrow 0}z^{-1}(-1+\sum_{k=0}^\infty \binom{z}{k}(-1)^k ( 1-\frac{\Gamma(k,-\log n))}{\Gamma(k)} ) = -\Gamma(0,-\log n)-\pi i -\log\log n - \gamma$

y parece empíricamente que para $z=-1$ , la suma se reduce a $1-\log n$ .

Luciano

Divídalo en dos sumas y observe que la primera es

0

$0$ .

Respuestas (1)

¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

nathan mackenzie · Answer 1

Muy bien, una respuesta, aunque sin una prueba rigurosa. Si alguien puede completar los detalles aquí, estaría feliz de aceptar su respuesta.

Con un poco de manipulación en Mathematica, terminé con lo más ordenado:

\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{z}{k}) (- 1)^{k} (1 - \frac{Γ (k, - registro norte)}{Γ (k)}) = L_{- z} (registro norte),

$\sum_{k=0}^\infty \binom{z}{k}(-1)^k( 1 - \frac{\Gamma(k,-\log n)}{\Gamma(k)}) = L_{-z}(\log n),$

dónde $L_z(n)$ son los polinomios de Laguerre ( Mathworld link ).

Para terminar aquí, usé una identidad que JM había mostrado en una respuesta a una pregunta mía anterior (esta) :

(- 1)^{k} (1 - \frac{Γ (k, - registro norte)}{Γ (k)}) = \frac{(- 1)^{k + 1}}{Γ (k)} \int_{- registro norte}^{0} t^{k - 1} {mi}^{- t} d t

$(-1)^k( 1 - \frac{\Gamma(k,-\log n)}{\Gamma(k)}) = \frac{(-1)^{k+1}}{\Gamma(k)}\int_{-\log n}^0 t^{k-1}e^{-t} dt$

y luego cambié el orden de la suma y la integral, y Mathematica reconoció inmediatamente los términos resultantes como los polinomios de Laguerre.

De todos modos, ahora sé por un montón de pruebas que mi suma parece ser igual $L_{-z}(\log n).$ ¿Se puede mostrar esto más ordenadamente?

¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

nathan mackenzie

Luciano

Respuestas (1)

nathan mackenzie

∑∞k=0Γ(k+α)tkk!=??∑k=0∞Γ(k+α)tkk!=??\sum_{k=0}^{\infty} \Gamma\left(k+\ alfa\right) \, \frac{t^k}{k!}=??

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