Si es una superficie conexa cerrada y , entonces podemos construir el toroide de mapeo . Entonces tenemos eso es una fibración (en realidad es un haz de fibra con fibra ).
Ahora deja ser un conectado cerrado -múltiple y ser una fibración (en el sentido teórico de la homotopía). ¿Bajo qué hipótesis puedo decir que
es un haz de fibras con fibra una superficie ?
es un toroide de mapeo para algunos ?
Algunos de mis pensamientos: es una fibración, por lo que sabemos que las fibras sobre cualquier punto son todas homotópicas equivalentes. Pero es un cerrado -manifold, por lo que la fibra sobre un punto genérico será una superficie cerrada. Dado que dos superficies cerradas equivalentes de homotopía son en realidad difeomorfas, las fibras son "genéricamente" iguales. mi problema es que en general puede tener algunos valores críticos donde deja de ser una superficie (sigue siendo un subespacio con el mismo tipo de homotopía de la superficie de fibra genérica).
Si sucede que es una inmersión, entonces este problema no ocurrirá y todas las fibras serán difeomorfas. En este caso, está claro que todas estas superficies se pueden "empaquetar juntas" en la estructura de un paquete de fibras (corríjame si me equivoco). Así que aquí la pregunta es: ¿es esto un toroide de mapeo para algunos ? Supongo que esto es cierto, porque cada fibra no se separa en y es solo un intervalo abierto cuya preimagen en es de la forma , pero no veo ninguna forma obvia de recuperar el encolado .
La respuesta es 'siempre', siempre que trate su mapa hasta la homotopía y asumir la finitud homotópica de la fibra. Hay varios casos a considerar, me ocuparé del caso cuando tiene cubierta universal contráctil (si te interesa el caso cuando no es el caso, te escribo los detalles, el problema se resuelve apelando al teorema de Kneser). Dejar Sea una fibra homotópica de su fibración. Se debe suponer que es un complejo de celdas finitas; de lo contrario, se puede encontrar fácilmente un contraejemplo tomando una variedad asférica de 3 cuyo grupo fundamental se asigna a con el kernel generado infinitamente. (Primero, encuentra un ejemplo bidimensional de esta situación y luego multiplícalo por el círculo).
Ahora, por la larga secuencia exacta de fibración obtienes que el grupo finitamente generado es normal en y el cociente es el grupo cíclico infinito . Dado que Perelman demostró la conjetura de Poincaré para nuestro beneficio, la variedad también es irreducible y, por lo tanto, puede aplicar un teorema que puede encontrar en algún lugar del libro de Hempel "3-variedades" que establece que en este caso es un grupo de superficie y de hecho es un haz de fibras sobre el círculo, de modo que el mapa de proyección del haz es homotópico a .
Para la segunda parte. Suponga que tiene un haz de fibra . Llevar ser la preimagen de un punto. Luego, por trivialidad local de , el complemento de un bicolor abierto de es el producto de y el intervalo unitario. el múltiple se obtiene identificando sus superficies límite mediante un homeomorfismo , que podemos considerar como un automorfismo de . Ahora bien, es claro que es el toro de mapeo de . QED