Pushforward: ¿de la teoría de la medida a la geometría diferencial?

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Pushforward: ¿de la teoría de la medida a la geometría diferencial?

Matemáticas
empujar hacia adelante
teoría de la medida
teoría de categorías
geometría diferencial

phili0881

Me preguntaba si hay una conexión entre el avance de la teoría de la medida y el avance de la geometría diferencial.

En la teoría de la medida : sea $X:(\Omega, \mathcal{A}, \mu) \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria La medida pushforward se define entonces como

v = X_{#} m = m \circ {PAG}^{- 1}

$\nu = X_\#\mu = \mu \circ P^{-1}$ y define una medida en

R

$\mathbb{R}$ . Por lo tanto, empujamos la medida

μ

$\mu$ a

R

$\mathbb{R}$ .

En geometría diferencial : sea $\phi:M \to N$ sea una aplicación suave entre dos variedades. El diferencial pushforward es un mapa

d ϕ (X) : T_{X} METRO \to T_{ϕ (X)} norte .

$d\phi(x): T_xM \to T_{\phi(x)}N.$ Por lo tanto, empujamos un vector tangente de

M

$M$ a un vector tangente de

N

$N$ .

Entiendo ambas definiciones. Pero no estoy seguro de entender la relación correctamente. ¿Hay incluso una relación? ¿Podemos interpretar el diferencial pushforward como una medida? ¿Está la relación dada por el teorema de Radon-Nikdoym?

Cualquier idea es bienvenida.

cubo de rubik09

El avance es una noción más general y se define formalmente en la teoría de categorías. En un sentido no categórico muy informal, tanto la medida diferencial como la de avance hacen lo mismo, mediante el uso de una función definida entre dos espacios (que "empuja" puntos a puntos) que luego empujan medidas a medidas y vectores tangentes a vectores tangentes.

Michał Miśkiewicz

Uno puede reformular las definiciones para que sean aún más similares. Si

μ

$\mu$ se identifica con el funcional

μ (f) = \int f d μ

$\mu(f) = \int f d\mu$ en

f \in C (Ω)

$f \in C(\Omega)$ , el avance es

X_{#} μ (f) := μ (f \circ X)

$X_\# \mu(f) := \mu(f \circ X)$ . Si un vector tangente

v

$v$ (en

x

$x$ ) se identifica con la derivada direccional

V = \partial_{v}

$V = \partial_v$ , entonces el pushforward (en

x

$x$ ) es

d ϕ (V) := V (f \circ ϕ)

$d\phi(V) := V(f \circ \phi)$ .

Michał Miśkiewicz

La última fórmula debe ser

(d ϕ V) (f) := V (f \circ ϕ)

$(d \phi \, V)(f) := V(f \circ \phi)$ , por supuesto.

Deane

En realidad es un poco confuso. El análogo en geometría diferencial de una medida es una forma diferencial. Pero aunque avanzas en las medidas, retrocedes en las formas. Empujas hacia adelante los campos vectoriales. Aquí hay una diferencia crucial entre los dos avances diferentes, el avance de un campo vectorial no es un campo vectorial, pero el avance de una medida es una medida. Es importante entender qué está pasando con cada caso y por qué son diferentes.

Respuestas (1)

Pushforward: ¿de la teoría de la medida a la geometría diferencial?

El avance es una noción más general y se define formalmente en la teoría de categorías. En un sentido no categórico muy informal, tanto la medida diferencial como la de avance hacen lo mismo, mediante el uso de una función definida entre dos espacios (que "empuja" puntos a puntos) que luego empujan medidas a medidas y vectores tangentes a vectores tangentes.
Uno puede reformular las definiciones para que sean aún más similares. Si $\mu$ se identifica con el funcional $\mu(f) = \int f d\mu$ en $f \in C(\Omega)$ , el avance es $X_\# \mu(f) := \mu(f \circ X)$ . Si un vector tangente $v$ (en $x$ ) se identifica con la derivada direccional $V = \partial_v$ , entonces el pushforward (en $x$ ) es $d\phi(V) := V(f \circ \phi)$ .
La última fórmula debe ser $(d \phi \, V)(f) := V(f \circ \phi)$ , por supuesto.
En realidad es un poco confuso. El análogo en geometría diferencial de una medida es una forma diferencial. Pero aunque avanzas en las medidas, retrocedes en las formas. Empujas hacia adelante los campos vectoriales. Aquí hay una diferencia crucial entre los dos avances diferentes, el avance de un campo vectorial no es un campo vectorial, pero el avance de una medida es una medida. Es importante entender qué está pasando con cada caso y por qué son diferentes.

Masacroso · Answer 1

Hay una conexión porque el concepto de pushforward es una noción general en matemáticas, además de su formalización en teoría de categorías o lo que sea, es la noción de inducción de una estructura en un espacio matemático a partir de otra a través de una función. $f:X\to Y$ .

Es decir: usamos la función $f$ para inducir algún tipo de estructura en $Y$ de una estructura del mismo tipo en $X$ , entonces decimos que impulsamos una especie de estructura de $X$ en $Y$ usando $f$ . Esto es todo. Luego puede impulsar medidas, campos vectoriales (bajo algunas condiciones), topologías, álgebras, etc.

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phili0881

cubo de rubik09

Michał Miśkiewicz

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Deane

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Masacroso

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