Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

Question

Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

cálculo
integración
Matemáticas
números complejos
análisis complejo
Integrales indefinidas

Mago de las matemáticas

Estaba mirando algunas integrales relacionadas con sustituciones trigonométricas y me topé con esta

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} d X

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

Sé que puedes hacerlo con una sustitución trigonométrica regular o simplemente usar una sustitución hiperbólica, pero me preguntaba si puedes hacerlo de la siguiente manera.

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} d X = \int \frac{porque θ}{\sqrt{- {porque}^{2} θ}} d θ = \int \frac{1}{i} d θ = \frac{1}{i} arcsen X,

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{-\cos^2\theta}}d\theta = \int \frac{1}{i}d\theta = \frac{1}{i}\arcsin x,$ donde el

x = \sin θ

$x=\sin \theta$ se utilizó la sustitución. ¿Alguien podría explicarme por qué no obtengo el mismo resultado que obtendría si se usara una sustitución trigonométrica hiperbólica u otra?

Gracias de antemano.

mr_e_man

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} d X = arcosh (X) + C = \pm i \arccos (X) + C

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C=\pm i\arccos(x)+C$

= \pm i (\frac{π}{2} - arcsen (X)) + C = \mp i arcsen (X) + (C \pm i \frac{π}{2})

$=\pm i\left(\frac\pi2-\arcsin(x)\right)+C=\mp i\arcsin(x)+\left(C\pm i\frac\pi2\right)$

= \pm \frac{1}{i} arcsen (X) + D

$=\pm\frac1i\arcsin(x)+D$

Mago de las matemáticas

@mr_e_man gracias por la respuesta. ¿Podría aclarar o vincular la fuente de dónde

arccosh (x) = + / - \arccos (x)

$\text{arccosh (x)} = +/- \arccos (x)$ ? ¡Gracias de antemano!

mr_e_man

aporrear (\pm i θ) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\pm i θ)^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{θ^{2 k}}{(2 k)!} = porque (θ)

$\cosh(\pm i\theta)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\pm i\theta)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}=\cos(\theta)$

Respuestas (1)

Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

$\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} d X = arcosh (X) + C = \pm i \arccos (X) + C$ $\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C=\pm i\arccos(x)+C$ $= \pm i (\frac{π}{2} - arcsen (X)) + C = \mp i arcsen (X) + (C \pm i \frac{π}{2})$ $=\pm i\left(\frac\pi2-\arcsin(x)\right)+C=\mp i\arcsin(x)+\left(C\pm i\frac\pi2\right)$ $= \pm \frac{1}{i} arcsen (X) + D$ $=\pm\frac1i\arcsin(x)+D$
@mr_e_man gracias por la respuesta. ¿Podría aclarar o vincular la fuente de dónde $\text{arccosh (x)} = +/- \arccos (x)$ ? ¡Gracias de antemano!
$aporrear (\pm i θ) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\pm i θ)^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{θ^{2 k}}{(2 k)!} = porque (θ)$ $\cosh(\pm i\theta)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\pm i\theta)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}=\cos(\theta)$

PM. · Answer 1

Para mantener su real integral original que necesita

X^{2} > 1

$x^2 \gt 1$ Si tu dejas

X = pecado θ

$x=\sin \theta$ entonces de verdad

θ

$\theta$ debe ser cierto que

- 1 \leq X \leq 1 \Rightarrow X^{2} \leq 1

$-1 \le x \le 1 \Rightarrow x^2 \le 1$

Hola, gracias por su respuesta. Tengo una pregunta. Por que es $x^2>1$ ¿requerido? ¿Por qué no puedes considerar el caso de $x^2<1$ y luego considerar la parte real de la integral? Gracias de antemano.
Hay varias cosas en las que pensar si se integra una función de valor complejo. Debe considerar cuidadosamente la región en la que se define su función, el camino de integración y cosas como la singularidad en el integrando en $x=1$ . p.ej $\frac{1}{z}$ tiene una singularidad (polo) en el origen $\int \frac{1}{z}dz$ produce diferentes resultados para bucles cerrados dependiendo de si el bucle encierra o no esa singularidad.
Hola, gracias por la rápida respuesta. Solo quiero asegurarme de que estoy entendiendo esto correctamente. La razón por la que este enfoque no se puede usar para x>1 es que pasará de variables reales a complejas. Creo que entiendo eso. Sin embargo, ¿por qué no se puede integrar, por ejemplo, de 2 a infinito siendo x un número complejo y luego tomando la parte real para obtener la misma respuesta que se obtendría con una sustitución hiperbólica? Gracias de antemano.

Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

Mago de las matemáticas

mr_e_man

Mago de las matemáticas

mr_e_man

Respuestas (1)

PM.

Mago de las matemáticas

PM.

Mago de las matemáticas

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Aplicaciones geométricas de números complejos

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Evaluar la integral indefinida ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ derecha)\!dx

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

¿Cómo puedo integrar ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx }?