Grupo de calibre global versus local en sentido matemático: ¿ejemplos de física?

Question

Grupo de calibre global versus local en sentido matemático: ¿ejemplos de física?

Stan

Al leer sobre la imagen principal del paquete de la teoría de campo (cuántica), encontré dos definiciones diferentes del grupo de calibre:

Grupo de calibre local $G$ . Corresponde a las fibras del $G$ -paquete. Las transformaciones locales de calibre corresponden al cambio de coordenadas en el que los campos y la forma se escriben en trivializaciones. En otras palabras, según tengo entendido, las transformaciones locales de calibre = funciones de transición para trivializaciones del paquete principal y los paquetes asociados.
Grupo de indicadores globales $\mathfrak G=Aut(P)$ . Es el grupo de difeomorfismos de haz principales, y se afirma que es mucho más grande que $G$ .

Me gustaría entender qué nociones en física corresponden a estas dos nociones aparentemente muy distintas.

Primero, en física, existe la noción de simetría global , hasta donde yo entiendo, esto no tiene nada que ver con calibre/paquetes. Pero, por otro lado, el límite de una simetría de calibre donde el parámetro se vuelve constante es una simetría global. Típico $U(1)$ ejemplo: $\exp(i\alpha(x))$ = $U(1)$ transformación de calibre, pero si $\alpha(x)=\alpha=const.$ , entonces es una simetría global. ¿Existe alguna conexión más profunda entre la simetría global y la "simetría"/paquetes de indicadores?

En segundo lugar, agradecería algunos ejemplos que aclaren la distinción entre grupos de calibre locales y globales mencionados anteriormente. Si, por ejemplo, tomamos un prototipo $SU(2)$ Teoría de calibre de la forma.

L = - \frac{1}{4} (F_{m v}^{a})^{2} + | (D_{m} ϕ)^{a} |^{2} - V (ϕ)

$\mathcal L = -\frac{1}{4}(F_{\mu\nu}^a)^2+|(D_\mu\phi)^a|^2-V(\phi)$ entonces podemos ponerlo en la imagen del paquete como un

S U (2)

$SU(2)$ haz principal, los campos

A_{μ}^{a}

$A_\mu^a$ viviendo en el paquete asociado

(PAGS \times s tu (2)) / {(pags, A) \sim (pags gramo, A d_{{gramo}^{- 1}} A)}

$(P\times\mathfrak su(2))/\{(p,A)\sim(pg,Ad_{g^{-1}}A)\}$ y el campo doblete

ϕ

$\phi$ en representación fundamental de

S U (2)

$SU(2)$ viviendo en el paquete asociado

(PAGS \times C^{2}) / {(pags, ϕ) \sim (pags gramo, ρ ({gramo}^{- 1}) ϕ)} .

$(P\times\mathbb C^2)/\{(p,\phi)\sim(pg,\rho(g^{-1})\phi)\}.$ Entonces el

S U (2)

$SU(2)$ grupo al que nos referimos aquí es lo que era el grupo de calibre local

G

$G$ arriba, es esto correcto? Las transformaciones de calibre se aplican a las versiones de coordenadas de los campos en las trivializaciones de los paquetes asociados para cambiar entre diferentes coordenadas.

Ahora, si este es el caso, ¿cuál es el grupo de calibre global? $\mathfrak G$ ¿después? En particular, estoy buscando la respuesta a las siguientes preguntas:

¿Se aplican las transformaciones de calibre global al modelo? $SU(2)$ teoría anterior?
¿En qué sentido el grupo de calibre global es mucho más grande que el grupo de calibre local?
¿Existe un ejemplo de modelo en el que se pueda anotar claramente el grupo de calibre local y el grupo de calibre global?
¿Hay casos en los que los dos grupos son iguales?
¿Cómo se relaciona esta discusión con la cuantización de los campos clásicos (si es que lo hace)?

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Publicaré aquí respuestas a varias preguntas en los comentarios/respuestas.

Acerca de las definiciones que usé en mi texto. Los tomé de mis notas de clase de un curso sobre teorías matemáticas de calibre impartido por un matemático. Aunque no hay una versión en línea de este curso, puedo proporcionar definiciones más detalladas si es necesario.

Específicamente, con respecto a la distinción de calibre global/local, encontré esta información en nLab, que parece estar de acuerdo con mi definición: http://ncatlab.org/nlab/show/gauge+group . Aunque esta página proporciona algunas explicaciones, utiliza terminología matemática con la que no estoy del todo familiarizado. El problema tanto con la página de nLab como con la conferencia a la que asistí es hacer la conexión con la física (soy físico).

Ok, solo escribiré las definiciones de mis notas de clase.

Calibre local

Dejar $P\to M$ un director $G$ -paquete, $\omega$ una forma de conexión 1 en $P$ . $U_i, U_j\subset M$ tal que $U_i\cap U_j\neq\emptyset$ sobre la cual P es trivial:

ψ_{i} : π^{- 1} ({tu}_{i}) \to {tu}_{i} \times GRAMO ψ_{j} : π^{- 1} ({tu}_{j}) \to {tu}_{j} \times GRAMO

$\psi_i:\pi^{-1}(U_i)\to U_i\times G\\ \psi_j:\pi^{-1}(U_j)\to U_j\times G$ con funciones de transición

ψ_{i} \circ ψ_{j}^{- 1} : ({tu}_{i} \cap {tu}_{j}) \times GRAMO \to ({tu}_{i} \cap {tu}_{j}) \times GRAMO (metro, gramo) \mapsto (metro, ψ_{i j} (metro) gramo)

$\psi_i\circ\psi_j^{-1}:(U_i\cap U_j)\times G\to (U_i\cap U_j)\times G\\ \phantom{\psi_i\circ\psi_j^{-1}:XXX}(m,g)\mapsto (m,\psi_{ij}(m)g)$ dónde

ψ_{i j} : U_{i} \cap U_{j} \to G

$\psi_{ij}:U_i\cap U_j\to G$ .

Usando estas trivializaciones podemos construir secciones preferidas de la siguiente manera:

σ_{i} : {tu}_{i} \to π^{- 1} ({tu}_{i}) metro \mapsto ψ_{i}^{- 1} (metro, mi) .

$\sigma_i:U_i\to\pi^{-1}(U_i)\\ \phantom{\sigma_i:x}m\mapsto \psi_i^{-1}(m,e)\,.$ Definir

ω_{i} := σ_{i}^{*} ω,

$\omega_i:=\sigma_i^*\omega\,,$ el cual es un

g

$\mathfrak g$ -valorado 1-formulario en

U_{i}

$U_i$ . Cambiar entre coordenadas en

U_{i}

$U_i$ y

U_{j}

$U_j$ es lo que se denomina elección de calibre local. Nos gustaría escribir una receta de transformación para

ω_{i / j}

$\omega_{i/j}$ .

En G tenemos la forma canónica de 1 $\theta$ con valores en $\mathfrak g$ definido de la siguiente manera:

θ_{gramo} (X_{gramo}) = A \in gramo si (A^{*})_{gramo} = X_{gramo}

$\theta_g(X_g)=A\in\mathfrak g\quad\text{if }(A^*)_g=X_g$ por donde

A^{*}

$A^*$ nos referimos al campo vectorial fundamental en

G

$G$ correspondiente a

A

$A$ . Se puede demostrar que las formas 1 se transforman de la siguiente manera:

ω_{j} = A d_{ψ_{i j}}^{- 1} ω_{i} + ψ_{i j}^{*} θ .

$\omega_j=Ad_{\psi_{ij}}^{-1}\omega_i+\psi_{ij}^*\theta\,.$ Esto me parece una transformación de calibre de campos de calibre

A = A_{μ} d x^{μ}

$A=A_\mu dx^\mu$ en física donde escribimos

A^{'} = gramo A {gramo}^{- 1} + gramo d {gramo}^{- 1}

$A'=gAg^{-1}+gdg^{-1}$ e incluso creo que la transformación anterior para

ω_{j}

$\omega_j$ se puede reescribir como algo como esto

ω_{j} = A d_{ψ_{i j}}^{- 1} ω_{i} + ψ_{i j}^{- 1} d ψ_{i j},

$\omega_j=Ad_{\psi_{ij}}^{-1}\omega_i+\psi_{ij}^{-1}d\psi_{ij}\,,$ Entonces parece que la transformación para

A

$A$ con

g = ψ_{i j}^{- 1}

$g=\psi_{ij}^{-1}$ .

Mucho sobre la transformación de calibre local.

Grupo de indicadores globales

El grupo de transformación de calibre global. $\mathfrak G$ es el conjunto de automorfismos del fibrado principal P:

GRAMO = A tu t (PAGS) .

$\mathfrak G = Aut(P)\,.$ Esto no debe confundirse con el grupo de estructura.

G

$G$ , que a veces se denomina grupo calibre en la literatura, pero es mucho más pequeño.

El grupo de indicadores (global) se puede describir de tres maneras:

$\mathfrak G=\{\phi:P\to P|\phi\text{ is a diffeo., }\pi\circ\phi=\pi, \phi(pg)=\phi(p)g\,\forall g\in G\}$
$\mathfrak G=\{u:P\to G|u\text{ smooth s.t. }u(pg)=g^{-1}u(p)g\,\forall g\in G\}$ . Tenga en cuenta que $\phi(p)=p\cdot u(p)$ .
$\mathfrak G=\{\text{sections }s:M\to F\}$ , dónde $F=(P\times G)/\sim$ con $(p,h)\sim(pg,g^{-1}pg)\forall g\in G$ .

Si $\omega$ es una conexión de 1 forma que corresponde a una elección del espacio tangente horizontal $H$ en $P$ , después $\phi^*\omega$ es también una forma de conexión 1, que define la conexión pull-back

(ϕ^{*} H)_{pags} := (D_{pags} ϕ)^{- 1} H_{ϕ (pags)} \Leftrightarrow D_{pags} ϕ ((ϕ^{*} H)_{pags}) := H_{ϕ (pags)}

$(\phi^*H)_p:=(D_p\phi)^{-1}H_{\phi(p)}\quad\Leftrightarrow\quad D_p\phi((\phi^*H)_p):=H_{\phi(p)}$ Concluimos que

G

$\mathfrak G$ actúa sobre las conexiones, pero la forma explícita de esta acción es bastante complicada. En cambio, la acción de

G

$\mathfrak G$ en la curvatura es fácil de entender.

De la última ecuación anterior concluimos que $\phi$ mapas $\phi^*H$ a $H$ , y así mapea $\tilde\Omega$ , la curvatura de $\phi^*H$ , a $\Omega$ , la curvatura de $H$ :

ϕ (\tilde{Ω} (X, Y)) = Ω (X, Y) \forall X, Y \in T_{metro} METRO .

$\phi(\tilde\Omega(X,Y))=\Omega(X,Y)\quad\forall X,Y\in T_mM\,.$ Se puede demostrar que se cumple la siguiente relación de transformación:

\tilde{Ω} = A d_{{tu}^{- 1}} Ω .

$\tilde\Omega=Ad_{u^{-1}}\Omega\,.$ dónde

u : P \to G

$u:P\to G$ es el mapa de la segunda definición de

G

$\mathfrak G$ anterior correspondiente a

ϕ

$\phi$ .

Dos conexiones $H_1$ y $H_2$ en P se denominan equivalentes de calibre si hay un $\phi\in\mathfrak G$ con $\phi^*H_2=H_1$ .

Una de las cosas que me interesan es que, a partir de las transformaciones de calibre local, la ley de transformación para la forma 1 $\omega$ parece ser lo que llamamos la transformación de calibre de los campos de calibre $A$ (ver arriba), pero a partir de la transformación del grupo de calibre global, la transformación de la curvatura es lo que vemos en la física, es decir, si $F$ es la intensidad de campo correspondiente a $A$ , y $g$ un elemento del grupo calibre entonces

F \to F^{'} = gramo F {gramo}^{- 1} .

$F\to F'=gFg^{-1}\,.$ Además, como dije al principio, me gustaría precisar a qué corresponden estas definiciones matemáticas en lo que aprendemos en física. En física, cuando discutimos cierta teoría de calibre, existe EL grupo de calibre, como

U (1)

$U(1)$ ,

S U (2)

$SU(2)$ , etc. bajo los cuales los campos se transforman en determinadas representaciones, así como los propios campos de calibre, que se transforman en la representación adjunta. Ahora, en matemáticas, veo la distinción de grupo de calibre local/global. La esencia de mi pregunta es entender esta distinción y relacionarla con la física.

qmecanico

Comentario a la pregunta (v2): considere proporcionar una referencia a la definición anterior de grupo de calibre global, porque la definición tradicional en física es diferente. Más sobre global vs local: physics.stackexchange.com/q/48188/2451

jamals

En nuestro lenguaje, una simetría de calibre implica invariancia bajo transformaciones continuas locales. Por lo tanto, decir 'calibre global' es una especie de oxímoron; 'global' solo es suficiente.

qmecanico

Tenga en cuenta que, por ejemplo, en QED, una transformación de calibre global es un tipo especial de transformación de calibre , y también un tipo especial de transformación global .

Respuestas (3)

Grupo de calibre global versus local en sentido matemático: ¿ejemplos de física?

Comentario a la pregunta (v2): considere proporcionar una referencia a la definición anterior de grupo de calibre global, porque la definición tradicional en física es diferente. Más sobre global vs local: physics.stackexchange.com/q/48188/2451
En nuestro lenguaje, una simetría de calibre implica invariancia bajo transformaciones continuas locales. Por lo tanto, decir 'calibre global' es una especie de oxímoron; 'global' solo es suficiente.
Tenga en cuenta que, por ejemplo, en QED, una transformación de calibre global es un tipo especial de transformación de calibre , y también un tipo especial de transformación global .

una mente curiosa · Answer 1

Admito que estoy un poco confundido con su terminología, pero así es como la aprendí: $P$ ser un $G$ -paquete principal y $\Sigma$ un espaciotiempo.

grupo calibre : Las fibras del $G$ -haz principal sobre el espacio-tiempo, es decir, el grupo $G$ .
Grupo (local) de transformaciones de calibre : el grupo de difeomorfismos $t : P \rightarrow P$ , que conservan la fibra y $G$ -equivariante, es decir, si $\pi : P \rightarrow \Sigma$ es la proyección entonces $\pi \circ t = \pi$ , y $t$ conmutar con la acción del grupo en $P$ .

Ahora se puede, por la transitividad de la acción del grupo sobre las fibras, definir una función $g_t: P \rightarrow G$ por $t(p) = pg_t(p) \forall p \in P$ , y tales funciones $g : P \rightarrow G$ a la inversa, definir una transformación de calibre por $t_g(p) = pg(p)$ siempre y cuando cumplan $g_t(ph) = h^{-1}g_t(p)h \forall h \in G$ , por lo que tenemos dos caracterizaciones alternativas de las transformaciones de norma locales:

$\mathcal{G} = \{t |t \in \mathrm{Diff}(P) \wedge \pi \circ t = t \wedge t(ph) = t(p)h \forall h \in G\} = \{ g| g \in \mathrm{Maps}(P,G) \wedge g(ph) = h^{-1}g(p)h \forall h \in G \}$

Los difeomorfismos equivalentes de $P$ se denominan locales, ya que aplican un elemento de grupo diferente a cada punto del espacio-tiempo.

Ahora, los paquetes asociados se ven afectados de la siguiente manera: Sea $\phi : \Sigma \rightarrow P \times_G V$ ser una sección del paquete asociado, es decir, un campo. Por un argumento similar al anterior, estos están en biyección a $G$ -funciones equivalentes $f_\phi : P \rightarrow V$ satisfactorio $f_\phi(pg) = \rho(g^{-1})f_\phi(p)$ . Esta es esencialmente la razón por la cual, en $\mathrm{U}(1)$ simetría, una transformación de calibre $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)}$ actúa sobre los campos como $\phi(x) \mapsto \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(x)} \phi(x)$ .

Entonces, verá, el grupo local de transformaciones de calibre es mucho más grande que el grupo de calibre global, ya que permite muchas más funciones además de las constantes. Siempre puede escribir claramente el grupo de calibre global (¡define su teoría!), pero escribir el local más explícito que lo que hice anteriormente es difícil. Para $\mathrm{U}(1)$ , sin embargo, es sólo $\{x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)} x | \alpha : P \rightarrow \mathrm{U}(1) \text{is smooth (enough)}\}$ , Pienso. Los casos en los que los dos grupos coinciden exigen un espacio-tiempo que es un punto, supongo, pero no estoy del todo seguro de eso.

Además, todo esto se puede hacer de forma clásica, nada sobre las teorías de calibre es inherentemente cuántico.

EDITAR :

Muy bien, tu edición fue muy útil para discernir lo que realmente está sucediendo aquí.

Su grupo de calibre global es lo que los físicos llaman el grupo de transformaciones de calibre. El grupo de indicadores de una teoría de indicadores es lo que usted llama un grupo de indicadores locales (y lo que el nLab también llama el grupo de indicadores locales). Cuando los físicos dicen que el grupo calibre $\mathrm{SU}(N)$ , quieren decir que es lo que llamas el grupo de calibre local.

El grupo de calibre global del nLab es solo el grupo de transformaciones (no necesariamente transformaciones de calibre, la terminología es terrible aquí, lo sé) que deja todos los observables invariantes, es decir, es el grupo de simetrías de la teoría ( no el grupo de simetrías de el lagrangiano), el grupo de transformaciones de calibre es naturalmente un subgrupo de este. La diferencia es que este grupo de indicador global puede contener transformaciones que realmente no tienen nada que ver con la estructura del grupo de indicador local, y puede contener cosas que no son transformaciones de indicador. Este grupo de indicador global puede incluso existir si no tiene una teoría de indicador explícita, y es inherentemente un concepto QFT.

En otras noticias, tienes razón, tu forma de conexión $\omega$ es el campo de calibre $A$ de una teoría de medida física, y se transforma exactamente como escribiste. Ahora, el problema con el campo de calibre es exactamente esa fea transformación, por lo que construimos la transformación de la curvatura en el representante adjunto y lo llamamos la intensidad del campo. $F$ . La acción de una teoría de calibre pura (Yang-Mills) está dada entonces (hasta los prefactores) por

\int_{Σ} {T r}_{a d} (F \land ⋆ F)

$\int_\Sigma \mathrm{Tr}_{ad}(F \wedge \star F)$

ya que la acción debe ser invariante bajo transformaciones de calibre y la $\mathrm{Tr}_{ad}(F \wedge \star F)$ es prácticamente el único objeto que podemos construir a partir de los campos de calibre que es invariable y puede integrarse en el espacio-tiempo.

Hola ACuriousMind, ¡gracias por las explicaciones! Creo que ahora puedo entender mejor lo que está pasando. Especialmente fue muy útil su comentario de que el grupo de calibre global en realidad no necesariamente debe tener que ver con una teoría de calibre, sino que expresa todas las simetrías posibles de la teoría. A escribió algunos comentarios a la respuesta de Christoph, si quieres, puedes echarles un vistazo y podemos discutir más.

Tobías Diez · Answer 2

Los nombres de estas criaturas son un verdadero lío y existen principalmente dos esquemas de notación independientes: el matemático y el físico.

Dejar $P \to M$ ser un $G$ -paquete principal. Después

$G$ Los matemáticos lo llaman grupo estructural y los médicos lo llaman grupo calibre.
El grupo (de dimensión infinita) de automorfismos de $P$ , o de manera equivalente el grupo de secciones de $Ad(P)$ , se llama el grupo de calibre (matemáticas) o el grupo de transformación de calibre (física)
Si tienes un paquete trivial $P = M \times G$ , el grupo de automorfismos se puede identificar con mapas de $M$ a $G$ (ya que $Ad(P) = M \times G$ en este caso). Por lo tanto, tiene sentido hablar de transformaciones de calibre constantes, que a menudo se denominan transformaciones de calibre global.

Tenga en cuenta que no hay diferencia entre lo que llama transformaciones de indicador locales y globales. Son lo mismo visto desde diferentes puntos de vista. Una transformación de calibre es, por definición, un automorfismo de su paquete $P$ . Si miras esta transformación en una banalización local $(U, \tau)$ entonces ves que una transformación de calibre corresponde exactamente a una función $U \to G$ que actúan sobre la banalización (y sobre las demás criaturas que viven en $U$ como conexiones, formas de curvatura y secciones locales). Por lo tanto, una transformación de calibre puede interpretarse como un cambio de trivialización (con la misma cubierta abierta) o, en la jerga de la física, como un cambio de coordenadas. Por el contrario, una familia de mapas $U_i \to G$ sobre trivializar conjuntos $U_i \subseteq M$ satisfacer ciertas relaciones de compatibilidad en las intersecciones dan lugar a una sección global de $Ad(P)$ , que es una transformación de calibre. Entonces, sus "transformaciones de calibre local" son solo "transformaciones globales" en parches de coordenadas.

Hola, Tobias, veo que tu punto sobre la transformación de calibre local y global es, en principio, lo mismo, en realidad sospechaba lo mismo. Sin embargo, ¿qué hay de la afirmación de que el grupo de transformaciones de calibre global es mucho más grande que el grupo de transformaciones de calibre local?
OK, lo entiendo, lo que significa es que el grupo de transformaciones de calibre es mucho más grande que el grupo de estructura, pero eso es obvio.

Cristóbal · Answer 3

Esta no es una respuesta completa, sino más bien un comentario demasiado grande sobre la terminología.

Las definiciones de nLab no concuerdan con Giovanni Giachetta, Luigi Mangiarotti, Gennadi Sardanashvily: Advanced Classical Field Theory , que resumiré brevemente:

Los autores llaman al grupo $G$ de un (principal) $G$ -agrupar el grupo de estructura . Esta es una terminología estándar que también se puede encontrar en Kobayashi, Nomizu u otros libros de texto sobre geometría diferencial. La literatura de física puede llamar a este grupo el 'grupo calibre'.

El grupo de transformaciones de calibre es el grupo de automorfismos de haz equivariantes y el grupo de calibre es el grupo de automorfismos de haz equivariantes verticales (es decir, que cubre la identidad en el espacio base). Este último es lo que llamaste 'grupo de calibre global'. Hacer esta distinción puede no ser estándar; creo que la mayoría de los autores requieren que las transformaciones de calibre sean verticales. Como el grupo de calibre produce las simetrías de calibre de la teoría del campo de Lagrange correspondiente, esta parece una definición razonable.

Como dijiste correctamente, el grupo de indicadores es isomorfo al grupo de secciones globales del $G$ -paquete asociado al paquete principal por conjugación. Ahora bien, los mapas de transición entre banalizaciones locales también vienen dados por secciones del mismo paquete, pero locales. Esto podría motivar el término 'grupo de calibre local', que sería distinto del grupo de estructura (normalmente de dimensión finita).

A nivel local, una 'transformación de calibre global', por supuesto, debe expresarse como una familia de 'transformaciones de calibre locales'. Si la teoría física es invariante de calibre, realmente no importa si se trata de una transformación de calibre 'local' o 'global'. Por la misma razón, la covarianza general de la relatividad general significa que no sucederá nada malo si combinamos las transformaciones de coordenadas y los difeomorfismos.

Gracias por la respuesta. Es compatible con los pensamientos que tenía sobre eso. Así, suponiendo que un físico trabaja casi siempre con coordenadas, para él ambas transformaciones parecen realmente iguales, ya que ambas equivalen a una transformación de secciones preferidas y, por lo tanto, a un cambio de componentes de campo que no son más que coordenadas con respecto a estas secciones preferidas. .
Dado que la única razón de la distinción que veo es que una transformación de calibre global es realmente algo así como un lujo que podemos permitirnos y simplemente refleja la libertad de elección de coordenadas. Esto también se puede hacer en un paquete trivial / con funciones ordinarias y no dice nada sobre la "torsión" de las fibras. Las transformaciones de calibre local, en cambio, expresan la imposibilidad de encontrar coordenadas globales en sistemas torcidos, son funciones de transición. La colección de todas las transformaciones de calibre locales contiene la información sobre el giro (teorema de reconstrucción). ¿Correcto?
Otro pensamiento que se me acaba de ocurrir: las transformaciones de calibre global son solo simetrías generales de la teoría, PERO con la restricción de que conservan la estructura de calibre local. Esto es precisamente lo que asegura la condición para que los automorfismos de haz sean equivariantes.

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