Cómo percibe un físico los campos de calibre

Question

Cómo percibe un físico los campos de calibre

usuario3257624

Hechos

El marco matemático de una teoría de calibre es el de principal $G$ -paquetes, donde $G$ es un grupo de Lie (que representa alguna simetría física); dejar ${\pi}\colon{P}\to{M}$ ser un paquete.
Una forma de conexión 1 en $P$ corresponde a un campo de calibre , y la forma 2 de curvatura asociada a él corresponde al tensor de intensidad de campo .
Una sección (local) de $\pi$ sirve como un marco de referencia (local) (alias, calibre ) para un observador en $M$ . En particular, si $s\colon{U}\to{P}$ es una sección de este tipo, donde $U$ es un subconjunto abierto de $M$ , entonces un observador en $U$ describe elementos de $\Omega^{k}\left({\pi}^{-1}(U),\mathfrak{g}\right)$ tirando de ellos hacia atrás $s$ .
Específicamente, deja $A\in\Omega_{con}^{1}\left(P,\mathfrak{g}\right)$ ser una conexión de 1 forma y ${F^A}\in\Omega_{hor}^{2}\left(P,\mathfrak{g}\right)^{\operatorname{Ad}}$ la curvatura asociada de 2 formas. Entonces, nuestro observador en $U$ interpreta ${A_s}:={s^*}A$ y ${F_s^A}:={s^*}{F^A}$ como el campo de calibre y el tensor de intensidad de campo , respectivamente, en ese calibre específico, a saber. $s$ .

Conclusión : En un calibre determinado, toda unión de 1 forma y toda curvatura de 2 formas definen, respectivamente, un único elemento de $\Omega^{1}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ y $\Omega^{2}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ .

Ahora, el enfoque de un físico sobre la teoría de calibre es definir el espacio de los campos de calibre como $\Omega^{1}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ , cuando se ha elegido (implícitamente) un calibre en particular. Entonces mi pregunta es la siguiente:

" hace el todo $\Omega^{1}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ calificar como el conjunto de campos de calibre, en el sentido de que existe una correspondencia uno a uno entre $\Omega_{con}^{1}\left(P,\mathfrak{g}\right)$ y $\Omega^{1}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ , cuando se elige un calibre? ¿O hay elementos en $\Omega^{1}\left(M,\mathfrak{g}\right)$ que no califican como campos de calibre , en el sentido de que no son retrocesos de las formas de conexión 1 por el calibre elegido? "

Probablemente, la pregunta es de naturaleza matemática y puede ser respondida mediante cálculos rigurosos. Si la base matemática de uno es tal que puede proporcionar una prueba rigurosa, entonces se le solicita amablemente que lo haga (o al menos proporcione un bosquejo de esa prueba). Sin embargo, si hay una forma intuitiva de abordar la respuesta, me encantaría saberlo.

jamals

π : P \to M

$\pi : P \to M$ es la proyección; la notación más común para referirse al paquete es

P \to^{π} M

$P \to^{\pi} M$ (en mejor LaTeX normalmente) y en resumen para referirse al paquete a través del espacio total,

P

$P$ , en lugar de hablar de una sección de

π

$\pi$ .

usuario3257624

trámites no esenciales... También puede consultar aquí: en.wikipedia.org/wiki/Principal_bundle

jamals

Soy consciente de que está mal en Wikipedia :) Probablemente algún tipo sea demasiado perezoso para usar la notación adecuada, ya que no es tan fácil de escribir.

usuario3257624

De todos modos, trámites innecesarios. Ambos términos se usan indistintamente, dígalo un "abuso de notación" si lo desea. Por cierto, ¿eres Nicolás Bourbaki?

Respuestas (1)

Cómo percibe un físico los campos de calibre

$\pi : P \to M$ es la proyección; la notación más común para referirse al paquete es $P \to^{\pi} M$ (en mejor LaTeX normalmente) y en resumen para referirse al paquete a través del espacio total, $P$ , en lugar de hablar de una sección de $\pi$ .
trámites no esenciales... También puede consultar aquí: en.wikipedia.org/wiki/Principal_bundle
Soy consciente de que está mal en Wikipedia :) Probablemente algún tipo sea demasiado perezoso para usar la notación adecuada, ya que no es tan fácil de escribir.
De todos modos, trámites innecesarios. Ambos términos se usan indistintamente, dígalo un "abuso de notación" si lo desea. Por cierto, ¿eres Nicolás Bourbaki?

una mente curiosa · Answer 1

No es cierto en general que una forma de conexión $A$ en el paquete desciende a una forma bien definida en todos los $M$ . De hecho, lo hace si y solo si el paquete es trivial, ya que la existencia de una sección global de un paquete principal por la cual podemos retirar $A$ implica necesariamente que $P$ es trivial

En cambio, cada forma de conexión $A$ desciende a local $A_i\in\Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$ donde el $U_i$ son una portada de $M$ que banaliza $P$ , es decir, hay secciones $s_i : U_i \to \pi^{-1}(U_i)\cong U_i\times G$ con $s_i(x) = (x,1)$ y definimos $A_i := s_i^\ast A$ . Con respecto a las funciones de transición $t_{ij} : U_i \cap U_j \to G$ , estos cumplen

A_{i} = {a d}_{t_{i j}} (A_{j} - t_{i j}^{*} θ),

$A_i = \mathrm{ad}_{t_{ij}}(A_j - t_{ij}^\ast \theta),$ dónde

θ

$\theta$ es la forma de Cartan-Maurer o, en una notación más familiar,

\begin{matrix} (1) & A_{i} = t_{i j}^{- 1} A_{j} t_{i j} - t_{i j}^{- 1} d t_{i j} . \end{matrix}

$A_i = t^{-1}_{ij}A_j t_{ij} - t_{ij}^{-1}\mathrm{d}t_{ij}.\tag{1}$ Por el contrario, todo sistema de

A_{i}

$A_i$ que cumple estas relaciones define una forma de conexión en

P

$P$ . Cuando el paquete es trivial, esta relación es vacía ya que solo necesitamos en

U_{i} = M

$U_i = M$ , y recuperamos la biyección reclamada entre formas de conexión en

P

$P$ y

A \in Ω^{1} (M, g)

$A\in\Omega^1(M,\mathfrak{g})$ para este caso especial.

Ahora, una transformación de calibre es un automorfismo que conserva la fibra. $g : P\to P$ que desciende a funciones locales $g_i : U_i\to G$ con $g_i = g_j t_{ij}$ , o, en el caso trivial, una función $g : M\to G$ , que actúan sobre las formas de conexión locales tanto como lo hacen las funciones de transición (que es la razón por la cual la literatura de física tiene problemas para distinguir estos dos conceptos a veces). Tal transformación equivale a elegir otro punto en cada fibra $\pi^{-1}(x) \cong G$ como la identidad, lo que podemos hacer, ya que la fibra lleva una acción de grupo pero no es naturalmente un grupo en sí mismo, y por lo tanto no tiene un elemento de identidad distinguido.

Si ahora observa que las secciones $s_i$ incluir tal elección de identidad en su definición, entonces puede ver que podemos ver tal transformación de calibre como cambiar las secciones por las cuales definimos la forma de conexión. Entonces, el físico, a quien generalmente no le importa la forma de conexión en $P$ pero sobre su descripción local en el $U_i$ , declara los $A_i$ que están relacionados por tales transformaciones para ser equivalentes, y cociente de ellos fuera del espacio de $\Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$ con la propiedad de transformación correcta (o equivalentemente cociente del espacio de formas de conexión en $P$ por transformación de calibre $P\to P$ ) produce el espacio de clases de equivalencia de calibre .

Entonces, en resumen, respondemos a la pregunta de la siguiente manera: un campo de calibre es una colección de potenciales de calibre locales $U_i \to \mathfrak{g}$ con la condición de compatibilidad (1), que están en biyección a las conexiones principales en $P$ , pero físicamente los que están relacionados por una transformación de calibre se declaran equivalentes y esencialmente indistinguibles.

¡Por supuesto! En el nivel de haz principal, una conexión es un objeto geométrico fijo, mientras que en el nivel de variedad base forma una clase de equivalencia de campos de calibre, donde los elementos de esa clase están en correspondencia 1-1 con los de $\Gamma(P)$ . Sin embargo, ¿el conjunto de esas clases forma una partición de ${\Omega^1}(M,\mathfrak{g})$ ? De manera equivalente, ¿existe una biyección entre ${\Omega^1}(M,\mathfrak{g})$ y $\Omega_{con}^{1}(P,\mathfrak{g})\times\Gamma(P)$ ?
Y algo más, haga las propiedades definitorias de una conexión de 1 forma en $P$ manifiesta como ciertas condiciones en 1-formas en M? Si es así, ¿cómo?
...Si lo hacen y están trivialmente satisfechos, entonces la respuesta sería afirmativa.
@ user3257624 Indiqué claramente que hay una biyección entre los formularios de conexión en $P$ y formas locales $\Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$ , y que esto se reduce a una biyección entre formas de conexión y $\Omega^1(M,\mathfrak{g})$ en el caso de un paquete trivial. No estoy seguro de qué es exactamente lo que quieres más que eso. Las propiedades de una forma de conexión 1 son esencialmente lo que conduce a las condiciones de compatibilidad (1).

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